Trabalho de Álgebra Linear apresentado no CEFET/MG - Campus Timóteo
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\author{Egmon Pereira}
\title{Formas Quadráticas}
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\institute{CEFET/MG -- Unidade Timóteo}
\date{\today}
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\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
\begin{frame}
\small
\tableofcontents
\end{frame}
\section{Definição}
\begin{frame}{Definição de Formas Quadráticas}
\pause
\begin{itemize}
\item Forma Linear:
\pause
\end{itemize}
\begin{eqnarray}
a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n} \nonumber \\
\pause
x_{1}, x_{2},\ldots x_{n} \nonumber \\
\pause
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n} \nonumber
\end{eqnarray}
\pause
Todas as variáveis estão numa forma \textit{linear}, na primeira potência e não existem produtos de variáveis.
\end{frame}
\begin{frame}{Definição de Formas Quadráticas}
\begin{itemize}
\item Forma Quadráticas:
\pause
\item[a)] Termos Mistos:
\end{itemize}
\pause
\begin{eqnarray}
a_{k}x_{i}x_{j} \nonumber \\
\pause
a_{1}x_{1}^{2}, a_{2}x_{2}^{2},\ldots a_{n}x_{n}^{2} \nonumber
\end{eqnarray}
\pause
Combinando os termos $x_{i}x_{j}$ com $x_{j}x_{i}$ evitamos duplicação desses termos e assim teremos:
\pause
\begin{eqnarray}
a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}
\end{eqnarray}
\end{frame}
\begin{frame}{Definição de Formas Quadráticas}
\begin{block}{Forma Quadrática arbitrária de $R^{3}$:}
\small
\begin{eqnarray}
a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+a_{3}x_{3}^{2}+2a_{4}x_{1}x_{2}+2a_{5}x_{1}x_{3}+2a_{6}x_{2}x_{3}
\end{eqnarray}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Definição de Formas Quadráticas}
Expressando $(1)$ e $(2)$ como Matriz, temos:\pause
\small
\begin{eqnarray}
a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+2a_{3}x_{1}x_{2}&=& \left[\begin{array}{cc} x_{1} & x_{2}\end{array} \right] \left[\begin{array}{cc}a_{1} & a_{3}\\ a_{3} & a_{2}\end{array} \right] \left[\begin{array}{cc}x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] \nonumber
\end{eqnarray}
\end{frame}
\begin{frame}{Definição de Formas Quadráticas}
Expressando $(1)$ e $(2)$ como Matriz, temos:
\small
\begin{eqnarray}
\left[\begin{array}{cc} x_{1} & x_{2}\end{array} \right] \left[\begin{array}{cc}a_{1} & a_{3}\\ a_{3} & a_{2}\end{array} \right] \left[\begin{array}{cc}x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] &=& \textbf{X}^{T}A\textbf{X}
\end{eqnarray}
\end{frame}
\begin{frame}{Definição de Formas Quadráticas}
\begin{block}{Em $R^{3}$:}
\end{block}
\small
\begin{eqnarray}
a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+a_{3}x_{3}^{2}+2a_{4}x_{1}x_{2}+2a_{5}x_{1}x_{2}+2a_{6}x_{2}x_{3} = \nonumber \\
\left[\begin{array}{ccc} x_{1} & x_{2} & x_{3}\end{array} \right] \left[\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{4} & a_{5}\\ a_{4} & a_{2} & a_{6}\\a_{5} & a_{6} & a_{3}\end{array} \right] \left[\begin{array}{ccc}x_{1} \\ x_{2}\\x_{3} \end{array}\right]
\end{eqnarray}
\end{frame}
\begin{frame}{Definição de Formas Quadráticas}
\begin{block}{Nota:}
Observe que a matriz $\textbf{A}$ nessas fórmulas é simétrica e qeu suas entradas na diagonal são os coeficientes dos termos quadrados e que suas entradas fora da diagonal são a metade dos coeficientes dos termos mistos.
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Definição de Formas Quadráticas}
\small
\begin{eqnarray}
\left[\begin{array}{ccc} x_{1} & x_{2} & x_{3}\end{array} \right] \left[\begin{array}{ccc}\textcolor{red}{a_{1}} & a_{4} & a_{5}\\ a_{4} & \textcolor{red}{a_{2}} & a_{6}\\a_{5} & a_{6} & \textcolor{red}{a_{3}}\end{array} \right] \left[\begin{array}{ccc}x_{1} \\ x_{2}\\x_{3} \end{array}\right] \nonumber \pause \\
\textcolor{red}{a_{1}}x_{1}^{2}+\textcolor{red}{a_{2}}x_{2}^{2}+\textcolor{red}{a_{3}}x_{3}^{2}+2a_{4}x_{1}x_{2}+2a_{5}x_{1}x_{2}+2a_{6}x_{2}x_{3}
\end{eqnarray}
\end{frame}
\begin{frame}{Definição de Formas Quadráticas}
\small
\begin{eqnarray}
\left[\begin{array}{ccc} x_{1} & x_{2} & x_{3}\end{array} \right] \left[\begin{array}{ccc}a_{1} & \textcolor{blue}{a_{4}} & \textcolor{blue}{a_{5}}\\ \textcolor{blue}{a_{4}} & a_{2} & \textcolor{blue}{a_{6}}\\\textcolor{blue}{a_{5}} & \textcolor{blue}{a_{6}} & a_{3}\end{array} \right] \left[\begin{array}{ccc}x_{1} \\ x_{2}\\x_{3} \end{array}\right]\pause\nonumber\\
a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+a_{3}x_{3}^{2}+2\textcolor{blue}{a_{4}}x_{1}x_{2}+2\textcolor{blue}{a_{5}}x_{1}x_{2}+2\textcolor{blue}{a_{6}}x_{2}x_{3} \nonumber
\end{eqnarray}
\end{frame}
\begin{frame}{Definição de Formas Quadráticas}
\begin{block}{Em geral, se $\textbf{A}$ é uma matriz simétrica $nxn$ e $\textbf{x}$ é um vetor-coluna $nx1$ de variáveis, então:}
\begin{eqnarray}
Q_{A}(\textbf{x})&=&X^{T}AX
\end{eqnarray}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Definição de Formas Quadráticas}
\begin{block}{Quando for conveniente, $(6)$ pode ser expressa em notação de produto escalar como:}
\begin{eqnarray}
Q_{A}(\textbf{x})&=&X^{T}AX\nonumber \pause \\
&=&X^{T}(AX) \nonumber \pause \\
&=&X\cdot AX\nonumber \pause \\
Q_{A}(\textbf{x})&=&AX\cdot X
\end{eqnarray}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Definição de Formas Quadráticas}
\begin{block}{Nos casos em que $\textbf{A}$ é uma matriz diagonal, a forma quadrática $Q_{A}$ não tem termos mistos, logo, a matriz $nxn$ fica:}
\begin{eqnarray}
Q_{A}(\textbf{x})&=&X^{T}\textit{I}X\nonumber \pause \\
&=&X^{T}X \nonumber \pause \\
&=&X\cdot X\nonumber \pause \\
&=& ||X||^{2} \nonumber \pause\\
Q_{A}(\textbf{x})&=& x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}
\end{eqnarray}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Definição de Formas Quadráticas}
\begin{block}{E se $\textbf{A}$ tem entradas diagonais $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$, $\ldots$ ,$\lambda_{n}$; então:}
\end{block}
\begin{eqnarray}
Q_{A}(\textbf{x})&=&X^{T}AX\nonumber \pause \\
Q_{A}(\textbf{x})&=&\scriptsize \left[\begin{array}{cccc} x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \cdots \\ x_{n}\end{array}\right] \pause \nonumber \\
Q_{A}(\textbf{x})&=& \lambda_{1}x_{1}^{2}+\lambda_{2}x_{2}^{2}+\cdots +\lambda_{n}x_{n}^{2}
\end{eqnarray}
\end{frame}
\subsection{Exemplo 01}
\begin{frame}{Exemplo 01}
Expresse a Forma Quadrática em notação Matricial $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}$, com $\textbf{A}$ simétrica.
\begin{eqnarray}
2x^{2}+6xy-5y^{2} \pause &=& \left[\begin{array}{cc}x & y \end{array} \right]\pause \left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 3 & -5 \end{array} \right] \pause \left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \nonumber
\end{eqnarray}
\end{frame}
\section{Mudanças de Variáveis}
\begin{frame}{Mudanças de Variáveis em Formas Quadráticas}
\begin{block}{Três problemas que ocorrem na aplicação de Formas Quadráticas:}
\begin{enumerate}
\item[1 -] Se $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}$ é uma $FQ$ de $\textbf{R}^{2}$ ou $\textbf{R}^{3}$, que tipo de curva ou superfície é representada pela equação $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}=k$?
\end{enumerate}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Mudanças de Variáveis em Formas Quadráticas}
\begin{block}{Três problemas que ocorrem na aplicação de Formas Quadráticas:}
\begin{enumerate}
\item[2 -] Se $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}$ é uma $FQ$ de $\textbf{R}^{n}$, que condições deve satisfazer $A$ para garantir que $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}$ tenha valores positivos para $\textbf{x} \neq 0$?
\end{enumerate}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Mudanças de Variáveis em Formas Quadráticas}
\begin{block}{Três problemas que ocorrem na aplicação de Formas Quadráticas:}
\begin{enumerate}
\item[3 -] Se $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}$ é uma $FQ$ de $\textbf{R}^{n}$, quais são os valores máximo e mínimo da $FQ$ com $x$ condicionado a satisfazer $||x||=1$?
\end{enumerate}
\end{block}
Vamos responder apenas $1$ e $2$\footnote{O ponto $3$ é aboradado em outra seção.}
\end{frame}
\begin{frame}{Mudanças de Variáveis em Formas Quadráticas}
\begin{block}{Simplificando $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}$ com substituição, temos:}
\begin{eqnarray}
\textbf{x}&=&P\textbf{y}
\end{eqnarray}
\end{block}
\pause
\begin{itemize}
\item Se $P$ é invertível, então $(10)$ é denominada uma \textbf{Mudança de Variáveis}\pause
\item Se $P$ é ortogonal, então $(10)$ é denominada uma \textbf{Mudança de Variável Ortogonal}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Mudanças de Variáveis em Formas Quadráticas}
\begin{eqnarray}
\small \textsc{$\textbf{x}^{T}A\textbf{x}$} &=& \scriptsize \left[\begin{array}{cccc} y_{1} & y_{2} & \cdots & y_{n} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdot & 0 \end{array} \right] \left[\begin{array}{c}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots \\ y_{n} \end{array} \right] \nonumber \pause \\
\small \textsc{$\textbf{y}^{T}D\textbf{y}$} &=& \small \textsc{$\lambda_{1}y_{1}^{2}+ \lambda_{2}y_{2}^{2}+ \cdots +\lambda_{n}y_{n}^{2}$} \nonumber
\end{eqnarray}
\end{frame}
\subsection{Teorema 01}
\begin{frame}{Mudanças de Variáveis em Formas Quadráticas}
\begin{block}{\textbf{Teorema} dos Eixos Principais}
Se $A$ é uma matriz simétrca $nxn$, então existe uma mudança de variáveis ortogonal que transforma a Forma Quadrática $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}$ em $\textbf{y}^{T}D\textbf{y}$ sem termos mistos. Especificamente, se $P$ diagonaliza ortogonalmente $A$, então a mudança de variáveis $\textbf{x}=P\textbf{y}$ na $FQ$ fica:\pause
\begin{eqnarray}
\small \textsc{$\textbf{x}^{T}A\textbf{x}$} &=& \small \textsc{$\textbf{y}^{T}D\textbf{y}$}\nonumber \pause \\
\small \textsc{$\textbf{x}^{T}A\textbf{x}$} &=& \small \textsc{ $\lambda_{1}y_{1}^{2}+ \lambda_{2}y_{2}^{2}+ \cdots +\lambda_{n}y_{n}^{2}$}\nonumber
\end{eqnarray}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Mudanças de Variáveis em Formas Quadráticas}
\begin{block}{\textbf{Teorema} dos Eixos Principais}
Na qual $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$ são os autovalores de $A$ associados aos autovetores que constituem as colunas sucessivas de $P$.
\end{block}
\end{frame}
\subsection{Exemplo 02}
\begin{frame}{Mudanças de Variáveis em Formas Quadráticas}
\begin{block}{Exemplo 02}
Encontre uma mudança de variáveis ortogonal que elimine os termos mistos da $FQ$ $Q = x_{1}^{2} - x_{3}^{2} -4x_{1}x_{2} + 4x_{2}x_{3}$, e expresse $Q$ em termos das novas variáveis.
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Mudanças de Variáveis em Formas Quadráticas}
\begin{eqnarray}
Q &=& \small \textsc{$\textbf{x}^{T}A\textbf{x}$} \nonumber \pause \\
Q&=& \small \left[\begin{array}{ccc} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{array} \right] \left[\begin{array}{ccc} 1&-2&0\\-2&0&2\\0&2&-1 \end{array} \right]\left[\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array} \right] \nonumber
\end{eqnarray}
\end{frame}
\begin{frame}{Mudanças de Variáveis em Formas Quadráticas}
Equação Característica:
\begin{eqnarray}
\left | \begin{array}{ccc} \lambda- 1&-2&0\\-2&\lambda &2\\0&2&\lambda +1 \end{array} \right | &=& 0 \nonumber \pause \\
\lambda^{3}-9\lambda &=&0\nonumber \pause \\
\lambda(\lambda +3)(\lambda- 3) &=& 0\nonumber
\end{eqnarray}
\pause
Logo, os autovalores são: $\lambda = 0$, $\lambda = -3$ e $\lambda = 3$
\end{frame}
\begin{frame}{Mudanças de Variáveis em Formas Quadráticas}
Calculando os autovetores, temos:\\
\begin{spacing}{1.5}
\small p/ $\lambda = 0:\quad$ p/ $\lambda = -3:\quad$ p/ $\lambda = 3$:\\
$\left[\begin{array}{c} \frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{2}{3} \end{array} \right]\qquad$
$\quad\left[\begin{array}{c} \frac{-1}{3}\\ \frac{-2}{3}\\ \frac{2}{3} \end{array} \right]\qquad$
$\quad\left[\begin{array}{c} \frac{-2}{3}\\ \frac{2}{3}\\ \frac{1}{3} \end{array} \right]$
\end{spacing}
\end{frame}
\begin{frame}{Mudanças de Variáveis em Formas Quadráticas}
A substituição $\textbf{x}=P\textbf{y}$ que elimina os termos mistos é:\\
\begin{spacing}{1.5}
$x=Py$ \\ $\small \left[\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array} \right] = \small \left[\begin{array}{ccc} \frac{2}{3} & \frac{-1}{3} & \frac{-2}{3}\\ \frac{1}{3} & \frac{-2}{3} & \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array} \right]\left[\begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3} \end{array} \right]$
\end{spacing}
\end{frame}
\begin{frame}{Mudanças de Variáveis em Formas Quadráticas}
Isso produz a nova forma quadrática:
\begin{eqnarray}
Q &=& \textbf{y}^{T}(P^{T}AP)\textbf{y} \nonumber \pause \\
Q &=& \small \left[\begin{array}{ccc} y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{array} \right]\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right]\left[\begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3} \end{array} \right] \nonumber \pause \\
Q &=& -3y_{2}^{2}+3y_{3}^{2}
\end{eqnarray}\pause
Compare a equação inicial com o resultado\\ $Q = x_{1}^{2} - x_{3}^{2} -4x_{1}x_{2} + 4x_{2}x_{3}$ \\
Em $(11)$ não há termos mistos.
\end{frame}
\section{Formas Quadráticas na Geometria}
\begin{frame}{Formas Quadráticas na Geometria}
\pause
\begin{block}{Uma \textbf{Seção Cônica} é uma curva obtida cortando um cone circular reto por um plano.}
\end{block}\pause
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{conicas1}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Formas Quadráticas na Geometria}
\begin{block}{Uma \textbf{Seção Cônica} é uma curva obtida cortando um cone circular reto por um plano.}
\end{block}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{conicas2}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Formas Quadráticas na Geometria}
Uma equação pode ser da forma:
\begin{eqnarray}
\small \textsc{$ax^{2}+2bxy+cy^{2}+dx+ey+f$} &=& 0
\end{eqnarray}
\pause
Se $d=e=f=0$, então $(12)$ se reduz a:
\pause
\begin{eqnarray}
\small ax^{2}+2bxy+cy^{2} &=& 0
\end{eqnarray}
\pause
Denominada de \textbf{Cônica Central} ou \textbf{Reduzida.}
\end{frame}
\begin{frame}{Formas Quadráticas na Geometria}
Se em $(13)$ $f\neq0$, então podemos dividir tudo por $f$ e reescrever a equação na forma:
\begin{eqnarray}
\textsc{$a^{'}x^{2}+b^{'}y^{2}$} &=& 1
\end{eqnarray}
\pause
Podemos escolher valores para $a^{'}$ e $b^{'}$ de tal forma a obtermos uma das cônicas citadas acima.
\end{frame}
\begin{frame}{Formas Quadráticas na Geometria}
\textbf{Elipse}:
\begin{eqnarray}
\frac{x^{2}}{\alpha^{2}}+\frac{y^{2}}{\beta^{2}}&=&1\\
\alpha \geq \beta > 0\nonumber
\end{eqnarray}
\centering
\pause
\includegraphics[scale=0.3]{elipse1}
\end{frame}
\begin{frame}{Formas Quadráticas na Geometria}
\textbf{Elipse}:
\begin{eqnarray}
\frac{x^{2}}{\alpha^{2}}+\frac{y^{2}}{\beta^{2}}&=&1\\
\beta \geq \alpha > 0\nonumber
\end{eqnarray}
\centering
\pause
\includegraphics[scale=0.2]{elipse2}
\end{frame}
\begin{frame}{Formas Quadráticas na Geometria}
\textbf{Hipérbole}:
\begin{eqnarray}
\frac{x^{2}}{\alpha^{2}} - \frac{y^{2}}{\beta^{2}}&=&1\\
\alpha > 0 \quad \beta > 0\nonumber
\end{eqnarray}
\centering
\pause
\includegraphics[scale=0.3]{hiperbole2}
\end{frame}
\begin{frame}{Formas Quadráticas na Geometria}
\textbf{Hipérbole}:
\begin{eqnarray}
\frac{y^{2}}{\beta^{2}} - \frac{x^{2}}{\alpha^{2}}&=&1\\
\alpha > 0 \quad \beta > 0\nonumber
\end{eqnarray}
\centering
\pause
\includegraphics[scale=0.3]{hiperbole1}
\end{frame}
\section{Identificando Seções Cônicas}
\begin{frame}{Identificando Seções Cônicas}
Resolvendo o problema $1$, ou seja, identificar a curva representada pela equação $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}=k$ em duas ou três variáveis. \pause \\
Para encontrar uma rotação que elimine os termos mistos da equação\\
\begin{center}
$ax^{2}+2bxy+cy^{2}+f=0$
\end{center} \pause
É conveniente passar o termo constante para o lado direito:\\
\centering $ax^{2}+2bxy+cy^{2}=k$
\end{frame}
\begin{frame}{Identificando Seções Cônicas}
Em notação matricial, temos:
\begin{eqnarray}
x^{T}Ax &=& k \nonumber \pause \\
x^{T}Ax &=& \left[\begin{array}{cc}x & y \end{array} \right]\left[\begin{array}{cc}a & b\\ b & c \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \nonumber \pause \\
k &=& \left[\begin{array}{cc}x & y \end{array} \right]\left[\begin{array}{cc}a & b\\ b & c \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]
\end{eqnarray}
\end{frame}
\begin{frame}{Identificando Seções Cônicas}
Para girar os eixos coordenados, precisamos fazer uma mudança de variáveis ortogonal:
\begin{center}
$\textbf{x}=Px^{'}$
\end{center}
Na qual $det(P)=1$ \pause\\
Para acharmos o ângulo de rotação, faremos:
\begin{eqnarray}
p &=& \left[\begin{array}{cc} \cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right]
\end{eqnarray}
\end{frame}
\subsection{Exemplo 03}
\begin{frame}{Identificando Seções Cônicas}
\begin{block}{Exemplo 03}
\begin{itemize}
\item[a)] Identifique a cônica de equação $5x^{2}-4xy +8y^{2} -36=0$ girando os eixos $xy$ até colocar a cônica em posição canônica. \pause
\item[b)] Encontre o ângulo $\theta$ pelo qual foram girados os eixos $xy$ na parte $a$.
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Identificando Seções Cônicas}
A equação dada pode ser escrita na forma matricial:
\begin{center}
$\textbf{x}^{T}A\textbf{x}=36$
\end{center}
\pause
onde
\begin{center}
$A=\left[\begin{array}{cc} 5 & -2\\ -2 & 8 \end{array} \right]$
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{Identificando Seções Cônicas}
O polinômio característico de A é:
\begin{eqnarray}
\left |\begin{array}{cc} \lambda - 5 & 2 \\ 2 & \lambda - 8 \end{array} \right | &=& (\lambda - 4)(\lambda - 9) \nonumber
\end{eqnarray}
\pause
Logo, os autovalores são:
$\lambda_{1}=4$ e $\lambda_{2}=9$
\end{frame}
\begin{frame}{Identificando Seções Cônicas}
E portanto, após breve e simples cálculos, temos os autovalores: \pause\\
\begin{spacing}{2}
\centering
p/$\lambda=4:\qquad$ p/$\lambda=9:$\\
$\left[\begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{5}}\\ \frac{1}{\sqrt{5}}\end{array} \right]\qquad$
$\left[\begin{array}{c} \frac{-1}{\sqrt{5}}\\ \frac{2}{\sqrt{5}}\end{array} \right]$
\end{spacing}
\end{frame}
\begin{frame}{Identificando Seções Cônicas}
\begin{spacing}{2}
Assim, $A$ é ortogonalmente diagonalizável por: \pause
\begin{eqnarray}
P&=&\left[\begin{array}{cc} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{-1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{2}{\sqrt{5}} \end{array} \right]
\end{eqnarray}
\end{spacing}
\end{frame}
\begin{frame}{Identificando Seções Cônicas}
Observe que o $det(P)=1$, logo: \pause
\begin{eqnarray}
\left[\begin{array}{cc} x^{'} & y^{'} \end{array} \right] \left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{array} \right]\left[\begin{array}{c} x^{'}\\ y^{'} \end{array} \right] &=& 36 \nonumber
\end{eqnarray}
\end{frame}
\begin{frame}{Identificando Seções Cônicas}
Que pode ser reescrito como: \pause
\begin{eqnarray}
4x^{'2}+9y^{'2}&=&36 \nonumber \pause \\
\frac{x^{'2}}{9}+\frac{y^{'2}}{4} &=& 1 \nonumber
\end{eqnarray}
\end{frame}
\begin{frame}{Identificando Seções Cônicas}
Para resolver $b$, temos: \pause
\begin{spacing}{1.5}
\begin{eqnarray}
P&=&\left[\begin{array}{cc} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{-1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{2}{\sqrt{5}} \end{array} \right]
\nonumber \pause \\
\left[\begin{array}{cc} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{-1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{2}{\sqrt{5}} \end{array} \right] &=& \left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right] \nonumber
\end{eqnarray}
\end{spacing}
\end{frame}
\begin{frame}{Identificando Seções Cônicas}
Sendo assim, temos:
\small
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=& \frac{1}{\sqrt{5}}\nonumber \pause \\
\cos \theta &=& \frac{2}{\sqrt{5}}\nonumber \pause \\
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} &=& \frac{1}{2}\nonumber \pause \\
\theta &=& \arctan \frac{1}{2}\nonumber \pause \\
\theta &\approx & 26,6^{o}\nonumber
\end{eqnarray}
\end{frame}
\section{Formas Quadráticas}
\begin{frame}{Formas Quadráticas Positivas Definidas}
\begin{block}{O $2^{o}$ Problema}
Agora vamos considerar o segundo dos três problemas propostos acima. Vamos determinar as condições sob as quais $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}>0$ para quaisquer valores não nulos de $\textbf{x}$.
\end{block}
\end{frame}
\subsection{Teorema 02}
\begin{frame}{Formas Quadráticas Positivas Definidas}
\begin{block}{Teorema 02}
Uma Forma Quadrática $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}$ é dita: \pause
\end{block}
\begin{itemize}
\item \textbf{Positiva definida} se $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}>0$ para qualquer $\textbf{x}\neq0$ \pause
\item \textbf{Negativa definida} se $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}<0$ para qualquer $\textbf{x}\neq0$ \pause
\item \textbf{Indefinida} se $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}$ tem valores tanto positivos quanto negativos.
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Teorema 03}
\begin{frame}{Formas Quadráticas Positivas Definidas}
\begin{block}{Teorema 03}
Se $A$ é uma matriz simétrica, então: \pause
\end{block}
\begin{enumerate}
\item[(a)] $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}$ é positiva definida $<=>$ todos os autovalores de $A$ são positivos \pause
\item[(b)] $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}$ é negativa definida $<=>$ todos os autovalores de $A$ são negativos \pause
\item[(c)] $\textbf{x}^{T}A\textbf{x}$ é indefinida $<=>$ $A$ tem pelo menos um autovalor positivo e pelo menos um autovalor negativo.
\end{enumerate}
\end{frame}
\section{FIM}
\begin{frame}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.1]{cefet}\\
\small
Orientadora: Prof. Lilian Givisiez\\
Álgebra Linear\\
www.egmon.com.br
\end{center}
\end{frame}
\end{document}