\documentclass[11pt]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amssymb}
%Gummi|065|=)
\title{\textbf{Lineare Algebra Mitschrieb}}
\author{Maik Wild}
\date{October 27, 2014}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Definition 2.2}
Eine Abbildung
$f: X\to Y$ heißt injektiv, wenn keine zwei Elemente in $X$ auf dasselbe Element in $Y$ abgebildet werden, daher:\\
$\forall x,x\in X f(x)=f('x)\Rightarrow x=x'$ \\
Dies ist äquivalent zu $\forall x, x' \in X:x
eq x'\Rightarrow f(x)
eq f(x')$\\
Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn jedes $y\in Y$ ein Urbild $x$ besitz, also $f(x)=y$; daher $f(x)=Y$ oder \\
$\forall y \in Y \exists x \in X: f(x)=y$.\\
Eine Abbildung, welche injektiv und surjektiv ist, heißt bijektiv. \\
\[Schaubild 1\]
\\
Beispiel: Für jede nichtleere Menge $X$ existiert die identische Abbildung \\id$_{x}: X\to X, x \mapsto x$ ist injektiv und surjektiv, also bijektiv.
\section*{Definition 2.3}
Es seien $f:X\to Y$ und $g: Y\to z$ Abbildungen. Dann heißt $g\circ f$ $X\to Z x \mapsto g(f(x))$ die Komposition von $g$ nach $f$.
\section*{Proposition 2.4}
Es seien $f: X\to Y,$ $g: Y\to Z$ und $h:Z \to W$ Abbildungen. Dann gilt \\
$(h\circ g)\circ f=h\circ (g \circ f)$ \\
Beweis:
*Hier beweis einfügen*
\section*{Definition 2.5}
Es sei $f: X\to Y$ eine biektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung \\$f^{-1}:Y\to X, y=f(x) \mapsto x$ die zu $f$ inverse Abbildung.
\\Bemerkung:
\\1) Obige Abbildungsvorschrift ist nur für bijetive Abbildungen erklärt
\\2) Es gelten $f^{-1} \circ f=id_{x}$ und $f\circ f{-1}=id_y.$\\
Sind $X,Y$ Mengen so bezeichnet Abbildung $(X,Y)$ die Menge aller Abbildungen von $x$ nach $y$ und Bij$(X,Y)$ jene aller bijectiven Abbildungen, es gilt Bij$(X,Y)\subseteq$ Abbildung$(X,Y)$.\\
\section*{I.3 Relationen}
\section*{Definition 3.1}
Eine Relation $R$ auf Megen $A$ und $B$ ist eine Teilmenge $R \subseteq A \times B$.\\
Man notiert $aRb$, falls $(a,b)\in R$ gilt, oder sogar $a\sim b,a \le b$\\
Beispiel:\\
1) Auf $\mathbb{R}$ und $\mathbb{R}$ die Ordnungsrelation $(x\le y)$\\
2) $A:A\to B$ definiert eine Relation $R_{f}(a,b)\in R_{f} \Leftrightarrow b=f(a)[R_{f}$ ist Graf von $A]$
\section*{Definition 3.2}
Eine Relation $\sim$ auf $X$ heißt Äquivalenzrelation, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:\\\\
(i) Reflexivität: Für alle $x\in X$ gilt $x\sim x$.\\
(ii) Symetrie: Aus $x\sim y$ folgt $y \sim x$.\\
(iii) Transitivität: Aus $x\sim y$ und $y \sim z$ folgt $x\sim z$.\\\\
Für jedes $x\in X$ heißt $[x]_{\sim}=\{ y \in X \mid y \in y\} \subseteq X$ die Äquivalenzklasse von $x$. \\
Die Menge der Äquivalenzklassen $X/\sim =\{[x]_{\sim} \mid x\in X\}$ nennt man Quotientenmenge von X nach $\sim$.\\
Die Abbildung $\pi_{\sim} : X \to X/\sim$ $x \to [x]$ nennt man die Quotientenabbildung oder kanonische Projetion\\
Beispiel:\\
Es sei n $\in \mathbb{N}$. Auf $\mathbb{Z}$ wird eine Relation $\equiv_{n}$ wie folgt definiert: Es gilt genau dann $x\equiv_{n}$ $y$, wenn n die Differenz $x-y$ teilt; daher wenn ein $k \in \mathbb{Z}$ existiert mit $k\cdot n=x-y$.
%Ab hier hatte ich keinen Bock mehr :D
\end{document}
