\documentclass[11pt, oneside]{article}
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\title{PRML Exercises 2.20}
\author{B4 松井一紘}
\newcommand{\bb}[1]{\boldsymbol{#1}}
\begin{document}
\maketitle
\section*{定義: \ 正定値行列}
n次エルミート(対称)行列$A$が正定値行列
$ \Leftrightarrow $ 任意の $ \boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0} $に対して、$ \boldsymbol{x}^\ast A \boldsymbol{x} > 0 $\\
\\
半正定値 $ \boldsymbol{x}^\ast A \boldsymbol{x} \geq 0 $ \\
\section*{定理}
$ A $が正定値$ \Leftrightarrow $ $A$の固有値が全て正 \\
\\
(証明)
$ A $がエルミート行列なので対角化できる。
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x^\ast A x} = \boldsymbol{x^\ast U^\ast} diag(\lambda_i) \boldsymbol{Ux}
\end{eqnarray}
\end{document}
