Señales y Sistemas
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\title{ \usefont{OT1}{bch}{b}{n}
\normalfont \normalsize \textsc{Taller} \\ [15pt]
\horrule{0.3pt} \\[0.3cm]
\huge Se\~nales y Sistemas \\
\horrule{2pt} }
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
Autores:\\
Basulto Luis V-20.210.588\\
Daboin Yeitson V-21.258.579\\
Mendoza Ruben V-24.571.028\\
Ortega Raymar V-24.104.361\\
\end{center}
\tableofcontents
\section{Caracterizaci\'on de Sistemas}
Caracterizar el siguiente sistema:
\begin{align}
\begin{split}
y\left ( t \right )=\cos \left ( \omega t+\theta \right )+\int_{-\infty }^{t}\chi \left ( \tau \right )d\tau
\end{split}
\end{align}
\subsection{Linealidad}
Para que el sistema sea lineal debe cumplir con el principio de superposici\'on
\begin{equation*}
f\left ( t \right )= \alpha f_{1}\left ( y \right )+\beta f_{2}\left ( t \right )+...\lambda f_{n}\left ( t \right )
\end{equation*}
para ello definimos dos sistemas:
\begin{equation*}
y_{1}\left ( t \right )= \cos \left ( \omega t+\theta \right )+\int_{-\infty }^{t}\chi_{1} \left ( \tau \right )d\tau
\end{equation*}
\begin{equation*}
y_{2}\left ( t \right )= \cos \left ( \omega t+\theta \right )+\int_{-\infty }^{t}\chi_{2} \left ( \tau \right )d\tau
\end{equation*}
y una entrada:
\begin{equation}
\chi_{3} \left ( \tau \right )= \alpha \chi _{1}\left ( \tau \right )+\beta \chi _{2}\left ( \tau \right )
\end{equation}
donde debe cumplirse:
\begin{equation*}
y_{3} \left ( t \right )= \alpha y _{1}\left ( t \right )+\beta y_{2}\left ( t \right )
\end{equation*}
para:
\begin{equation}
y_{3}\left ( t \right )= \cos \left ( \omega t+\theta \right )+\int_{-\infty }^{t}\chi_{3} \left ( \tau \right )d\tau
\end{equation}
sustituyendo (1.2) en (1.3)
\begin{equation*}
y_{3}\left ( t \right )= \cos \left ( \omega t+\theta \right )+\int_{-\infty }^{t}(\alpha \chi _{1}\left ( \tau \right )+\beta \chi _{2}\left ( \tau \right ))d\tau
\end{equation*}
procedemos a calcular:
\begin{equation*}
y_{3}\left ( t \right )= \cos \left ( \omega t+\theta \right )+\int_{-\infty }^{t}\alpha \chi _{1}\left ( \tau \right )d\tau +\int_{-\infty }^{t}\beta \chi _{2}\left ( \tau \right )d\tau
\end{equation*}
se demuestra entonces que el sistema \textbf{\emph{ no es lineal.}}
\subsection{Invarianza}
para demostrar si el sistema es invariante en el tiempo definimos una entrada desplazada:
\begin{equation*}
y^{*}\left ( t \right )= \cos \left ( \omega t+\theta \right )+\int_{-\infty }^{t}\chi_{1} \left ( \tau -\Lambda \right )d\tau
\end{equation*}
y una salida deplazada:
\begin{equation*}
y\left ( t -\Lambda\right )= \cos \left [ \omega\left ( t-\lambda \right )+\theta \right ]+\int_{-\infty }^{t-\Lambda}\chi_{1} \left ( \tau -\Lambda \right )d\tau
\end{equation*}
donde debe cumplirse que:
\begin{equation*}
y^{*}\left ( t \right )=y\left ( t -\Lambda\right )
\end{equation*}
por lo tanto el sistema es \textbf{\emph{ variante en el tiempo.}}
\subsection{Memoria}
A.Oppenheim
\begin{quote}
"Un sistema es con memoria cuando existe almacenamiento de los valores pasados de la entrada y salida."
\end{quote}
Todos los Sistemas que contengan un almacenador o un Sumador son con memoria.Por lo tanto el sistema es \textbf{\emph{ con memoria.}}
\subsection{Estabilidad}
A. Oppenheim
\begin{quote}
"Un sistema es estable cuando para entradas acotadas, su salida tambien es acotada."
\end{quote}
Para demostrar, definimos una entrada acotada:
\begin{equation}
\chi_{1} \left ( \tau \right )=\mu \left ( t \right )
\end{equation}
y la sustituimos en (1.1) quedando:
\begin{equation}
y\left ( t \right )=\cos \left ( \omega t+\theta \right )+\int_{-\infty }^{t}\mu \left ( \tau \right )d\tau
\end{equation}
Resolviendo la integral, resulta:
\begin{equation}
y\left ( t \right )=\cos \left ( \omega t+\theta \right )+ r\left (t \right )
\end{equation}
dando como resultado una salida no acotada, por lo tanto el sistema \textbf{\emph{ no es estable.}}
\subsection{Causalidad}
A. Oppenheim
\begin{quote}
"Un sistema es causal cuando la salida en cualquier instante de tiempo depende s\'olo de valores del presente y pasado."
\end{quote}
para demostrar la causalidad de este sistema, realizamos un peque\~no muestreo, quedando:
\begin{equation}
y\left ( 1 \right )=\cos \left ( \omega 1+\theta \right )+\int_{-\infty }^{1}\chi \left ( \tau \right )d\tau
\end{equation}
\begin{equation}
y\left ( 2 \right )=\cos \left ( \omega 2+\theta \right )+\int_{-\infty }^{2}\chi \left ( \tau \right )d\tau
\end{equation}
\begin{equation}
y\left ( 3 \right )=\cos \left ( \omega 3+\theta \right )+\int_{-\infty }^{3}\chi \left ( \tau \right )d\tau
\end{equation}
\begin{equation}
y\left ( 4 \right )=\cos \left ( \omega 4+\theta \right )+\int_{-\infty }^{4}\chi \left ( \tau \right )d\tau
\end{equation}
para cualquier funci\'on de entrada, el sistema solo depender\'a de valores del pasado y presente, por lo tanto el sistema \textbf{\emph{ es causal.}}
\subsection{Invertibilidad}
A. Oppenheim
\begin{quote}
"Un sistema es invertible si para entradas distintas se producen salidas distintas."
\end{quote}
Procedemos a introducir entradas para muestrear el sistema, con valores fijos para:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\theta= \frac{\pi}{3} && &y& && \omega=1000f
\end{aligned}
\end{equation*}
para una entrada como la del item (1.4):
\begin{equation*}
y\left ( t \right )=\cos \left ( 1000 t+\frac{\pi}{3} \right )+\int_{-\infty }^{t}\mu \left ( \tau \right )d\tau
\end{equation*}
resulta:
\begin{equation*}
y\left ( t \right )=\cos \left ( 1000 t+\frac{\pi}{3} \right )+ r \left (\tau \right )
\end{equation*}
probamos con otra entrada:
\begin{equation*}
y\left ( t \right )=\cos \left ( 1000 t+\frac{\pi}{3} \right )+\int_{-\infty }^{t} r \left ( \tau \right )d\tau
\end{equation*}
resulta:
\begin{equation*}
y\left ( t \right )=\cos \left ( 1000 t+\frac{\pi}{3} \right )+ \frac{r^{2} \left (\tau \right )}{2}
\end{equation*}
una tercera entrada:
\begin{equation*}
y\left ( t \right )=\cos \left ( 1000 t+\frac{\pi}{3} \right )+\int_{-\infty }^{t} Cd\tau
\end{equation*}
resultando:
\begin{equation*}
y\left ( t \right )=\cos \left ( 1000 t+\frac{\pi}{3} \right )+ C\tau \left (\tau \right )
\end{equation*}
evaluando cada una de estas respuestas de $-\infty$ a t\\
Resulta que \textbf{\emph{ el sistema no es invertible.}}
\section{Sistemas LTI}
\subsection{Ecuaci\'on en diferencia}
\begin{equation}
y\left [ n \right ]-\frac{5}{6}y\left [ n-1 \right ]-\frac{1}{6}y\left [ n-2 \right ]=\frac{1}{3}x\left [ n \right ]
\end{equation} \\
Existen dos metodos para su resoluci\'on:\\
\begin{itemize}
\item M\'etodo Anal\'itico: $ y\left [ h \right ]= y_{h}\left [ h \right ]+y_{p}\left [ h \right ]$
\item M\'etodo Recursivo: $ y\left [ n \right ]=\frac{1}{3}x\left [ n \right ]+\frac{5}{6}y\left [ n-1 \right ]+\frac{1}{6}y\left [ n-2 \right ]$
\end{itemize}
Dado el siguiente sistema descrito por la ecuaci\'on en diferencia determinar:
\subsubsection{Respuesta al impulso del sistema}
Procedemos a calcular por el m\'etodo Anal\'itico.\\
se define como:
\begin{equation}
y\left [ h \right ]= y_{h}\left [ h \right ]+y_{p}\left [ h \right ]
\end{equation}
una soluci\'on homog\'enea mas una soluci\'on particular, donde:
\begin{align*}
y_{h}\left [ h \right ]=\sum_{k=0}^{N}a_{k}y\left [ n-k \right ]=0 & & y_{p}\left [ h \right ]=0
\end{align*}
para este caso solo existe soluci\'on homog\'enea, entonces:
\begin{equation}
y\left [ n \right ]= z^{n}
\end{equation}
sustituyendo (2.3) en (2.1)
\begin{equation*}
z^{n}-\frac{5}{6}z^{n-1}-\frac{1}{6}z^{n-2}=0
\end{equation*}
factor com\'un $z^{n-2}$ resulta:
\begin{equation*}
z^{2}-\frac{5}{6}z-\frac{1}{6}=0 \ \ \textup{Polinomio Caracter\'istico}
\end{equation*}
calculando las ra\'ices del polinomio:
\begin{equation*}
\begin{Bmatrix}
z_{1}\left [ n \right ]= \frac{-1}{6}& \\
z_{2}\left [ n \right ]= 1
\end{Bmatrix}
\end{equation*}
entonces:
\begin{equation}
y\left [ h \right ]= C_{1}\left ( \frac{-1}{6} \right )^{n}+C_{2}\left ( 1 \right )^{n}
\end{equation}
suponemos que el sistema est\'a relajado para el c\'alculo de las condiciones iniciales:
\begin{equation}
y\left [ n \right ]-\frac{5}{6}y\left [ n-1 \right ]-\frac{1}{6}y\left [ n-2 \right ]=\frac{1}{3}\delta\left [ n \right ]
\end{equation}
para n=0
\begin{equation*}
y\left [ 0 \right ]=\frac{1}{3}
\end{equation*}
para n=1
\begin{equation*}
y\left [ 1 \right ]-\frac{5}{6}y\left [ 0 \right ]=\frac{1}{3}\delta\left [ 1 \right ]
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 1 \right ]=\frac{5}{18}
\end{equation*}
procedemos a evaluar en (2.4) para n=0 y n=1
\begin{align*}
\left\{\begin{matrix}
y\left [ 0 \right ] &= C_{1}\left ( \frac{-1}{6} \right )^{0}+C_{2}\left ( 1 \right )^{0} \\
y\left [ 1 \right ] &= C_{1}\left ( \frac{-1}{6} \right )^{1}+C_{2}\left ( 1 \right )^{1}
\end{matrix}\right.
\end{align*}
Sustituimos las condiciones iniciales:
\begin{align*}
\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{3} &= C_{1}+C_{2} \\
\frac{5}{18} &= C_{1}\left ( \frac{-1}{6} \right )+C_{2}
\end{matrix}\right.
\end{align*}
resolviendo el sistema de ecuaciones:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
C_{1} &= \frac{1}{24}\\
C_{2} &= \frac{7}{24}
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
finalmente sustituyendo los valores en la ecuaci\'on (2.4) \textbf{\emph{la respuesta al impulso es:}}
\begin{align*}
y\left [ h \right ]=\left \{ \frac{1}{24}\left ( \frac{-1}{6} \right )^{n}+\frac{7}{24}\left ( 1 \right )^{n} \right \}\mu \left ( n \right ) & & \textup{para n $\geq$ 0}
\end{align*}
\subsubsection{Salida del Sistema para una entrada x(n)= $\mu$[n]-$\mu$[n-6]}
Calculamos por el m\'etodo anal\'itico:\\
La soluci\'on est\'a definida como:
\begin{equation}
y\left [ h \right ]= y_{h}\left [ h \right ]+y_{p}\left [ h \right ]
\end{equation}
una soluci\'on homog\'enea mas una soluci\'on particular.\\
donde:
\begin{align*}
y_{h}\left [ h \right ]=\sum_{k=0}^{N}a_{k}y\left [ n-k \right ]=0 & & y_{p}\left [ h \right ]=K\left [ \mu \left ( n \right )-\mu \left ( n-6 \right ) \right ]
\end{align*}
Para este caso si existe soluci\'on particular. \\
La soluci\'on homeg\'enea sa calcula como en el item 2.1.1
\begin{equation}
y\left [ n \right ]= z^{n}
\end{equation}
sustituyendo:
\begin{equation*}
z^{n}-\frac{5}{6}z^{n-1}-\frac{1}{6}z^{n-2}=0
\end{equation*}
factor com\'un $z^{n-2}$ resulta:
\begin{equation*}
z^{2}-\frac{5}{6}z-\frac{1}{6}=0 \ \ \textup{Polinomio Caracter\'istico}
\end{equation*}
calculando las ra\'ices del polinomio son:
\begin{equation*}
\begin{Bmatrix}
z_{1}\left [ n \right ]= \frac{-1}{6}& \\
z_{2}\left [ n \right ]= 1
\end{Bmatrix}
\end{equation*}
entonces:
\begin{equation}
y\left [ h \right ]= C_{1}\left ( \frac{-1}{6} \right )^{n}+C_{2}\left ( 1 \right )^{n}+K\left [ \mu \left ( n \right )-\mu \left ( n-6 \right ) \right ]
\end{equation}
calculamos la respuesta particular, sustituyendo en (2.1) $ y\left [ n \right ]=K\left [ \mu \left ( n \right )-\mu \left ( n-6 \right ) \right ]$
\begin{equation}
\begin{split}
K\left [ \mu \left ( n \right )-\mu \left ( n-6 \right ) \right ]
-\frac{5}{6}K\left [ \mu \left ( n-1 \right )-\mu \left ( n-7 \right ) \right ]-\frac{1}{6}K\left [ \mu \left ( n-2 \right )-\mu \left ( n-8 \right ) \right ]=\frac{1}{3}\left [ \mu \left ( n \right )-\mu \left ( n-6 \right ) \right ]
\end{split}
\end{equation}
realizamos un muestreo para calcular el valor de K.\\
teniendo en cuenta que la funci\'on escal\'on existe a partir de n=0
para n=0
\begin{equation*}
K\left [ \mu \left ( 0 \right )-\mu \left ( -6 \right ) \right ]
-\frac{5}{6}K\left [ \mu \left ( -1 \right )-\mu \left ( -7 \right ) \right ]-\frac{1}{6}K\left [ \mu \left ( -2 \right )-\mu \left ( -8 \right ) \right ]=\frac{1}{3}\left [ \mu \left ( 0 \right )-\mu \left ( -6 \right ) \right ]
\end{equation*}
\begin{equation*}
K=\frac{1}{3}
\end{equation*}
para n=1
\begin{equation*}
K\left [ \mu \left ( 1 \right )-\mu \left ( -5 \right ) \right ]
-\frac{5}{6}K\left [ \mu \left ( 0 \right )-\mu \left ( -6 \right ) \right ]-\frac{1}{6}K\left [ \mu \left ( -1 \right )-\mu \left ( -7 \right ) \right ]=\frac{1}{3}\left [ \mu \left ( 1 \right )-\mu \left ( -5 \right ) \right ]
\end{equation*}
\begin{equation*}
K-\frac{5}{6}K=\frac{1}{3}
\end{equation*}
\begin{equation*}
K=2
\end{equation*}
para n=2
\begin{equation*}
K\left [ \mu \left ( 2 \right )-\mu \left ( -4 \right ) \right ]
-\frac{5}{6}K\left [ \mu \left ( 1 \right )-\mu \left ( -5 \right ) \right ]-\frac{1}{6}K\left [ \mu \left ( 0 \right )-\mu \left ( -6 \right ) \right ]=\frac{1}{3}\left [ \mu \left ( 2 \right )-\mu \left ( -4 \right ) \right ]
\end{equation*}
\begin{equation*}
K-\frac{5}{6}K-\frac{1}{6}K=\frac{1}{3}
\end{equation*}
\begin{equation*}
K(0)=\frac{1}{3} \rightarrow K \to \infty
\end{equation*}
el valor de K queda indeterminado\\
\textbf{ para $n\geq 2$ K no existe.} \\
\textbf{\em Concluimos entonces que este no es el m\'etodo indicado para calcular la respuesta al sistema para una entrada x(n)= $\mu$[n]-$\mu$[n-6]}.\\
Calculamos por el m\'etodo Recursivo:
\begin{equation*}
y\left [ n \right ]=\frac{1}{3}x\left [ n \right ]+\frac{5}{6}y\left [ n-1 \right ]+\frac{1}{6}y\left [ n-2 \right ]
\end{equation*}
sustituyendo la entrada:
\begin{equation}
y\left [ n \right ]=\frac{1}{3}\left [ \mu \left [ n \right ]-\mu \left [ n-6 \right ] \right ]+\frac{5}{6}y\left [ n-1 \right ]+\frac{1}{6}y\left [ n-2 \right ]
\end{equation}
Muestreando: Sistema relajado.\\
n=0
\begin{equation*}
y\left [ 0 \right ]=\frac{1}{3}\left [ \mu \left [ 0 \right ]\right ]+\frac{5}{6}y\left [ -1 \right ]+\frac{1}{6}y\left [ -2 \right ]
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 0 \right ]=\frac{1}{3} \approx 0,33
\end{equation*}
para n=1
\begin{equation*}
y\left [ 1 \right ]=\frac{1}{3}\left [ \mu \left [ 1 \right ]\right ]+\frac{5}{6}y\left [ 0 \right ]+\frac{1}{6}y\left [ -1 \right ]
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 1 \right ]=\frac{1}{3}+\frac{5}{6}*0,33
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 1 \right ]=0.608
\end{equation*}
para n=2
\begin{equation*}
y\left [ 2 \right ]=\frac{1}{3}\left [ \mu \left [ 2 \right ] \right ]+\frac{5}{6}y\left [ 1 \right ]+\frac{1}{6}y\left [ 0 \right ]
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 2 \right ]=\frac{1}{3}+\frac{5}{6}*0,608+\frac{1}{6}*0,33
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 2 \right ]=0,895
\end{equation*}
para n=3
\begin{equation*}
y\left [ 3 \right ]=\frac{1}{3}\left [ \mu \left [ 3 \right ] \right ]+\frac{5}{6}y\left [ 2 \right ]+\frac{1}{6}y\left [ 1 \right ]
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 3 \right ]=\frac{1}{3}+\frac{5}{6}*0,895+\frac{1}{6}*0,608
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 3 \right ]=1,1805
\end{equation*}
para n=4
\begin{equation*}
y\left [ 4 \right ]=\frac{1}{3}\left [ \mu \left [ 4 \right ] \right ]+\frac{5}{6}y\left [ 3 \right ]+\frac{1}{6}y\left [ 2 \right ]
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 4 \right ]=\frac{1}{3}+\frac{5}{6}*1,1805+\frac{1}{6}*0,895
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 4 \right ]=1,46625
\end{equation*}
para n=5
\begin{equation*}
y\left [ 5 \right ]=\frac{1}{3}\left [ \mu \left [ 5 \right ] \right ]+\frac{5}{6}y\left [ 4 \right ]+\frac{1}{6}y\left [ 3 \right ]
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 5 \right ]=\frac{1}{3}+\frac{5}{6}*1,46625+\frac{1}{6}*1,1805
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 5 \right ]=1,75196
\end{equation*}
para n=6
\begin{equation*}
y\left [ 6 \right ]=\frac{1}{3}\left [ \mu \left [ 6\right ] -\mu \left [ 0\right ]\right ]+\frac{5}{6}y\left [ 5 \right ]+\frac{1}{6}y\left [ 4 \right ]
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 6 \right ]=\frac{5}{6}*1,75196+\frac{1}{6}*1,46625
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 6 \right ]=1,70434
\end{equation*}
para n=7
\begin{equation*}
y\left [ 7 \right ]=\frac{1}{3}\left [ \mu \left [ 7\right ] -\mu \left [ 1\right ]\right ]+\frac{5}{6}y\left [ 6 \right ]+\frac{1}{6}y\left [ 5 \right ]
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 7 \right ]=\frac{5}{6}*1,70434+\frac{1}{6}*1,75196
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 7 \right ]=1,71228
\end{equation*}
para n=8
\begin{equation*}
y\left [ 8 \right ]=\frac{1}{3}\left [ \mu \left [ 8\right ] -\mu \left [ 2\right ]\right ]+\frac{5}{6}y\left [ 7 \right ]+\frac{1}{6}y\left [ 6 \right ]
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 8 \right ]=\frac{5}{6}*1,71228+\frac{1}{6}*1,70434
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 8 \right ]=1,71096
\end{equation*}
para n=9
\begin{equation*}
y\left [ 9 \right ]=\frac{1}{3}\left [ \mu \left [9 \right ] -\mu \left [ 3\right ]\right ]+\frac{5}{6}y\left [ 8 \right ]+\frac{1}{6}y\left [ 7 \right ]
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 9 \right ]=\frac{5}{6}*1,71096+\frac{1}{6}*1,71228
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 9 \right ]=1,71118
\end{equation*}
para n=10
\begin{equation*}
y\left [ 10 \right ]=\frac{1}{3}\left [ \mu \left [10 \right ] -\mu \left [ 4\right ]\right ]+\frac{5}{6}y\left [ 9 \right ]+\frac{1}{6}y\left [ 8 \right ]
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 10 \right ]=\frac{5}{6}*1,71118+\frac{1}{6}*1,71096
\end{equation*}
\begin{equation*}
y\left [ 10 \right ]=1,71114
\end{equation*}
\textbf{\emph{M\'etodo Recursivo para 10 muestras.}}
\subsubsection{Estabilidad del sistema}
Para analizar si un sistema LTI es estable hay que estudiar si la respuesta
a una entrada acotada es tambi\'en acotada.\\
Debe cumplirse que:
\begin{equation}
\sum_{k= -\infty }^{\infty }\left | h\left ( k \right ) \right |< \infty
\end{equation}
Entonces, tomamos la respuesta al impulso del item 2.1.1 y la sustituimos en (2.11)
\begin{equation*}
\sum_{k= -\infty }^{\infty }\left | \frac{1}{24}\left ( \frac{-1}{6} \right )^{k}+\frac{7}{24}\left ( 1 \right )^{k} \right |
\end{equation*}
\textbf{\emph{La sumatoria diverge debido al t\'ermino $\left ( \frac{7}{24} \right )\left ( 1 \right )^{k}$, por lo tanto no es estable} }
\section{Convoluci\'on}
Sea $ \chi \left [ n \right ] $ y $ \omega \left [ n \right ]$ dos se\~nales descritas a continuaci\'on, si $ \omega_{c}= \tfrac{\pi}{3}$ y M=4
\begin{equation*}
\chi \left [ n \right ]= \left\{\begin{matrix}
\frac{\omega _{c}}{\pi}, n=0\\
\frac{\sin \left ( \omega _{c} n\right )}{\pi n}; resto
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\omega \left [ n \right ]= \left\{\begin{matrix}
\frac{2n}{M}; 0\leq n\leq \frac{M}{2}\\
2-\frac{2n}{M};\frac{M}{2}< n\leq M
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
\subsection{Vectores de las se\~nales}
\begin{equation}
\chi \left [ n \right ]= \begin{bmatrix}
0,33 & 0,28 & 0,14 & 0 & -0,07 & -0,06 & 0 & 0,04 & 0,03 & 0
\end{bmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\omega \left [ n \right ]=\begin{bmatrix}
0 & 0,5 & 1 & 0,5 & 0
\end{bmatrix}
\end{equation}
\subsection{$\chi \left [ n \right ]*\omega \left [ n \right ]$}
Determinar la convoluci\'on para las primeras cuatro muestras de $\chi \left [ n \right ]$ a partir de n=0\\
se define como:
\begin{equation}
\chi \left [ n \right ]*\omega \left [ n \right ]=\sum_{k= -\infty }^{\infty }\chi \left [ k \right ]h\left [ n-k \right ]
\end{equation}
donde:
\begin{equation*}
\chi \left [ k \right ]= \begin{bmatrix}
0,33 & 0,28 & 0,14 & 0
\end{bmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\omega \left [ n-k \right ]=\begin{bmatrix}
0 & 0,5 & 1 & 0,5 & 0
\end{bmatrix}
\end{equation*}\\
Realizamos la convoluci\'on por el m\'etodo Tabular:
\begin{itemize}
\item Se colocan todas las muestras discretas de ambas secuencias en acorde a
la variable independiente n.\\
\item Se toma el primer elemento de $ h\left [ n \right ]$ y se realiza la multiplicaci\'on elemento a elemento $ \chi \left [ n \right ]$.\\
\item Se desplaza una posici\'on y se realiza la misma operaci\'on de multiplicaci\'on para cada uno de los elementos de $ h\left [ n \right ]$.\\
\item Se realiza la suma algebraica de todos los elementos de las secuencias
productos obtenidas y se reasignan a la secuencia $ h\left [ n \right ]$ seg\'un la variable independiente n.\\
\end{itemize}
Calculamos:
\begin{equation*}
\begin{matrix}
&0,33 & 0,28 & 0,14 & 0 \\
0 & 0,5 & 1 & 0,5 & 0 \\
\end{matrix}
\end{equation*}
\begin{center}
\rule{8cm}{0.1mm}\\
\end{center}
\begin{equation*}
\begin{matrix}
&0,33 & 0,28 & 0,14 & 0 \\
0 & 0,5 & 1 & 0,5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \\
& 0,165& 0,14& 0,07 & 0 \\
& & 0,33& 0,28 & 0,14 & 0 \\
& & & 0,165 & 0,14 & 0,07 & 0 \\
& & & & 0 & 0 & 0 & 0 &
\end{matrix}
\end{equation*}
\begin{center}
\rule{8cm}{0.1mm}\\
\end{center}
\begin{equation*}
\begin{matrix}
& 0 & 0,17 & 0,47 & 0,52 & 0,28 & 0,07 & 0 & 0 \\
\end{matrix}
\end{equation*}
\textbf{\emph{ finalmente:}}
\begin{equation*}
\chi \left [ n \right ]*\omega \left [ n \right ]=\begin{bmatrix} 0 & 0,17 & 0,47 & 0,52 & 0,28 & 0,07 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\end{equation*}
\subsection{$\chi \left [ n \right ]*\omega \left [ n \right ]$ peri\'odica}
Si $y\left [ n \right ]$ es el resultado de modificar a $\omega\left [ n \right ]$ de tal manera que sea peri\'odica con $N_{0}=10$,determine la convoluci\'on interior para la nueva condici\'on.\\
Con la nueva condici\'on:
\begin{equation*}
\omega \left [ n \right ]=\begin{bmatrix}
0 & 0,5 & 1 & 0,5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{equation*}
procedemos a resolver por el m\'etodo tabular como en el item (3.2):
\begin{equation*}
\begin{matrix}
& & & & & &0,33 & 0,28 & 0,14 & 0 \\
0 & 0,5 & 1 & 0,5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{matrix}
\end{equation*}
\begin{center}
\rule{8cm}{0.1mm}\\
\end{center}
\begin{equation*}
\begin{matrix}
0 & 0 & 0 & 0 & & & & \\
& 0,165& 0,14& 0,07 & 0 & & & \\
& & 0,33& 0,28 & 0,14 & 0 & & \\
& & & 0,165& 0,14 & 0,07 & 0 & \\
& & & & 0 & 0 & 0 & 0 \\
& & & & & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{matrix}
\end{equation*}
\begin{center}
...
\end{center}
\begin{center}
\rule{10cm}{0.1mm}\\
\end{center}
\begin{equation*}
\begin{matrix}
0 & 0,17 & 0,47 & 0,52 & 0,28 & 0,07 & 0 & 0 & ... & 0_{14}\\
\end{matrix}
\end{equation*}
con $ \top = 14 $ \\
\textbf{\emph{ finalmente:}}
\begin{equation*}
y\left [ n \right ] = \begin{matrix}
0 & 0,17 & 0,47 & 0,52 & 0,28 & 0,07 & 0 & 0 & ... & 0_{13}\\
\end{matrix}
\end{equation*} \\
\subsection{Potencia}
Determine la potencia de la se\~nal $ y\left [ n \right ] $ del item anterior (3.3)
\begin{equation}
P_{\infty }=\lim_{N \to \infty }\left ( \frac{1}{2N+1} \right )\sum_{-N}^{N}\left | y\left [ n \right ] ^{2}\right |
\end{equation}
Evaluando:
\begin{equation*}
P_{\infty }=\lim_{N \to \infty }\left ( \frac{1}{2*13+1} \right )\sum_{n=-13}^{13}\left | 0+0,17+0,47+0,52+0,28+0,07+0+0+0+0+0+0+0+0\right |^{2}
\end{equation*}
\begin{center}
\textbf{$P_{\infty }$=2,2801 W}
\end{center}
%grafica
%h1=[0.33 0.28 0.14 0 -0.07 -0.06 0 0.004 0.003 0 -0.03]
%stem(h1)
%title("Función Seno Cardinal")
%h2=[0 0.5 1 0.5 0]
%stem(h2)
%title("Triangulo de Bartlett")
%c=[0 0.17 0.47 0.52 0.28 0.07 0 0]
%stem(c)
%title("X[n]*W[n]")
%c2t=[0 0.17 0.47 0.52 0.28 0.07 0 0 0 0 0 0 0 0]
%stem(c2t)
%title("X[n]*W[n] con T=14")
\subsection{G\'aficas}
\begin{center}
\begin{minipage}[h]{0.5\linewidth}
\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth}
\includegraphics[width=0.42\textwidth]{sinc.png}
\end{wrapfigure}
\end{minipage}
\end{center}
\begin{center}
\begin{minipage}[h]{0.5\linewidth}
\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth}
\includegraphics[width=0.42\textwidth]{triangulo_de_bartlett.png}
\end{wrapfigure}
\end{minipage}
\end{center}
\begin{center}
\begin{minipage}[h]{0.5\linewidth}
\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth}
\includegraphics[width=0.42\textwidth]{conv1.png}
\end{wrapfigure}
\end{minipage}
\end{center}
\centering
\begin{minipage}[h]{0.5\linewidth}
\centering
\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth}
\includegraphics[width=0.42\textwidth]{conv2t.png}
\end{wrapfigure}
\end{minipage} \\
\begin{center}
\begin{minipage}[h]{0.5\linewidth}
\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{conv2t.png}
\end{wrapfigure}
\end{minipage}
\end{center}
\end{document}