trabajo realizado para la cátedra de señales y sistemas
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\begin{document}
\section{resolución\'on pregunta numero 2}
Dado el siguiente sistema descrito por la ecuación en diferencias, determine : la repuesta al impulso, la salida del sistema para una enterada $ x[n]=\mu(n) -\mu(n-6)$. Por ultimo analice su estabilidad.
\begin{center}
\begin{equation}
y[n]-\frac{5}{6}y[n-1]-\frac{1}{6}y[n-2]=\frac{1}{3}x[n]
\end{equation}
\end{center}
Resolución aplicando el m\'etodo anal\'itico: $y[n]=S[n]$
\begin{itemize}
\item Repuesta al impulso del sistema
\end{itemize}
para la respuesta la impulso sabemos que $x[n]=\delta[n]$.
donde la solución homogénea es de la forma
\begin{center}
\begin{equation}
S[n]=C(Z_1)+B(Z_2)
\end{equation}
\end{center}
calculando la solución homogénea del sistema
donde $x[n]=0$ , así la ecuación\'on1 nos queda
\begin{center}
\begin{equation}
y[n]-\frac{5}{6}y[n-1]-\frac{1}{6}y[n-2]=0
\end{equation}
\end{center}
ahora $y[n]=Z$ , sustituyendo Z en (3)
\begin{equation}
Z-\frac{5}{6}Z^{n-1}+\frac{1}{6}z^{n-2}=0
\end{equation}
sacamos factor común $Z^{n-2}$ de la ecuación (4)obteniendo lo siguiente
$ (Z^{n-2})(z^2-\frac{5}{6}Z-(1/6))=0$
al factorizar el polinomio de segundo grado obtenido $Z_1=1$ y $Z_2=\frac{-1}{6}$
sustituyendo los valores de $Z_1=1$ y $Z_2=-\frac{1}{6}$ en la ecuación\'on (4)
\begin{center}
\begin{equation}
S[n]=C(1)^n+B(\frac{-1}{6})^n
\end{equation}
\end{center}
ahora buscamos las condiciones iniciales para as\'i buscar los valores de C y B. Para ello trabajamos con la ecuación\'on(1).
trabajamos con n=0
\begin{center}
\begin{equation}
y[0]-\frac{5}{6}y[-1]-frac{1}{6}y[-2]=\frac{1}{3}x[0]
\end{equation}
\end{center}
donde $y[-1]=0$ ; $y[-2]=0$ ; $x[0]=(\frac{1}{3})$;
por lo tanto $(y[0]=\frac{1}{3})$
Trabajamos con n=1
\begin{center}
\begin{equation}
y[1]-\frac{5}{6}y[0]-frac{1}{6}y[-1]=\frac{1}{3}x[1]
\end{equation}
\end{center}
$y[0]=0$ ; $ y[-1] =0$ ; $x[1]=(\frac{1}{3})$
quedando as\'i $ y[1]=\frac{11}{18}$
sustituyendo los valores de y[0] ,y[1] en la ecuación (5) para así poder armar un sistema de ecuaciones.
\begin{equation}
C+B=(\frac{1}{3})
\end{equation}
\begin{equation}
C+B(-\frac{1}{6})=\frac{11}{18}
\end{equation}
al resolver el sistema conformado por las ecuaciones (8-9) se obtienen los siguientes valores de C y B :$ C=2$ y $B= \frac{-5}{3}$
por lo tanto la solución homogénea queda de la siguiente manera
\begin{equation}
S[n]=(2)(1)^n+(\frac{-5}{3})(\frac{-1}{6})^n
\end{equation}
\begin{itemize}
\item
Respuesta al escalón
\end{itemize}
Para este caso $ x[n]=\mu[n]$
ahora y[n]= $y_p$+$y_p$
donde :
$y_h$= S[n] ; $y_p$=$k\mu[n]$
\begin{center}
\begin{equation}
S[n]=C(1)^n+B(\frac{-1}{6})^n
\end{equation}
\end{center}
para calcular el valor de k hacemos y[n]=$K\mu[n]$
para este caso obtenemos lo siguiente :
\begin{equation}
\frac{1}{3}\mu[n] = \mu[n]-\frac{1}{6}\mu[n-1]-\frac{1}{6}\mu[n-2]
\end{equation}
ahora se le daran valores a n hasta que el valor de k se estabilice por completo, para este caso el valor se estabilizara a partir de 2, pero sucede algo muy particular k a partir de 2 tomara como valor cero.Esto sucede por que el método analítico no aplica para entradas acotadas y K solo existirá en el rango de valores en que esta acotada la entrada.
Se procederá a utilizar el método recursivo
trabajaremos con $[n]= \mu[n]$ sustituyendo en la ecuación nº 1
\begin{equation}
y[n]-\frac{5}{6}y[n-1]-\frac{1}{6}y[n-2]=\frac{1}{3}\mu[n]
\end{equation}
ahora le damos valores a n que sean positivos y enteros para así encontrar su termino enecimo.
para n=0
obtenemos que $y[0]=]\frac{1}{3}$
para n=1
$[1]= \frac{11}{18}$
para n=2
$y[2=]\frac{55}{108}$
para n=3
$y[3]=\frac{97}{108}$
para n=4
$y[4=]\frac{7}{6}$
para n=5
$y[5]=\frac{943}{648}$
como se puede observa la señal no se estabiliza si no que toma valores muy bruscos y matemáticamente es muy complicado conseguirle el termino enecimo.
por eso solo se dejara expresada sus primeras 5 muestras.
\end{document}