Trabalho prático em Física Experimental II
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
\usepackage{texnames}
\usepackage{geometry}
\usepackage{cite}
\geometry{hmargin={2.5cm,2.5 cm},vmargin={2.5 cm,2.5cm}}
\usepackage{setspace} %Define espaçamento entre linhas com os comandos \singlespacing \onehalfspacing \doblespacing
\usepackage{setspace} %Define espaçamento entre linhas com os comandos \singlespacing \onehalfspacing \doblespacing
\usepackage{array}
\usepackage{leading}
%\usepackage{graphicx,graphics} % Pacote usado para inserir figuras no texto.
\usepackage[font=footnotesize,bf]{caption} % Pacote usado para personalizar o tamanho e tipo de fonte utilizados em legendas de figuras e tabelas.
\captionsetup{font={footnotesize}} % Comando que define o tamanho e tipo de fonte utilizados em legendas de figuras e tabelas.
\usepackage{indentfirst} %Permite a utilização de marcadores
\usepackage[bf,rm,tiny,raggedright,compact]{titlesec} %Formata as seções com o pacote
\usepackage{parskip}
\parindent=0.75cm %Espaçamento da margem esquerda no início de cada parágrafo.
%\parskip=0mm %Cria espaçamento entre parágrafos.
%\usepackage{ulem}
\begin{document}
\begin{titlepage}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.0mm}} % Defines a new command for the horizontal lines, change thickness here
\center % Center everything on the page
%----------------------------------------------------------------------------------------
% HEADING SECTIONS
%----------------------------------------------------------------------------------------
\textsc{\LARGE Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais}\\[0.5cm] % Name of your university/college
\vskip-.5cm
\textsc{\Large Graduação em\\ Engenharia da Computação}\\[0.5cm] % Major heading such as course name
\vskip-.5cm
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{LogoCEFET.jpg}\\[1cm] % Include a department/university logo - this will require the graphicx packag
%----------------------------------------------------------------------------------------
% TITLE SECTION
%----------------------------------------------------------------------------------------
\vskip2cm
\HRule \\[0.4cm]
{\Large \bfseries Prática 07 - Oscilação Sistema Massa-Mola}\\[0.4cm] % Title of your document
\HRule \\[1cm]
%----------------------------------------------------------------------------------------
% AUTHOR SECTION
%----------------------------------------------------------------------------------------
\vskip1cm
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{flushleft} \large
\emph{Alunos:}\\
Egmon Pereira; \\Igor Otoni Ripardo de Assis\\Leandro de Oliveira Pinto;\\ Letícia Alves; \\Nicollas Andrade Silva
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{flushright} \medskip
\emph{Professor:} \\
\textbf{}{Anderson Augusto Freitas}
\end{flushright}
\end{minipage}\\[2cm]
\end{titlepage}
\pagebreak
\large
\section{Introdução}
Um sistema massa-mola vertical é um sistema formado por uma mola pendurada verticalmente à uma haste e que possui uma massa pendurada na mola, veja uma ilustração a seguir:
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{massaMola}
\end{center}
\caption{Sistema massa-mola vertical}
\end{figure}
Neste sistema as força atuantes sobre a massa são a força peso,verticalmente para baixo, e a força elástica, verticalmente para cima. No momento que a massa esta em equilíbrio significa que a força peso é igual a força elástica.
De acordo com a segunda lei de Newton o somatório das forças que agem sobre um corpo é igual ao produto da massa pela aceleração.
$ \Sigma F = m\cdot a $.
A força elástica pode ser determinada pela Lei de Hook: $F = -K\cdot X$ . Onde K é a constante elástica da mola sua unidade de medida é N/m e o X é a deformação da mola, neste caso deslocamento da massa, sua unidade é o metro(m).
Quando a massa é puxada para baixo a força elástica é aumentada e o sistema sai do equilíbrio. E o movimento que a massa faz é chamado de Movimento Harmônico Simples (MHS). Este é um movimento periódico, e portanto o objeto passa novamente por uma dada posição depois de um período T. Isso ocorre porque a aceleração e a força resultante são proporcionais e opostas ao deslocamento. Como a força elástica e a aceleração é para cima e a massa foi puxada para baixo, o deslocamento fica oposto a força e a aceleração. O movimento harmónico é um movimento periódico isso quer dizer que,se repete a intervalos de tempo regulares e sucessivos e um movimento oscilatório, que é um tipo de movimento periódico no qual o sentido do movimento se alterna periodicamente, porém a trajetória é a mesma para ambos os sentidos.
No sistema massa-mola temos que a força resultante atuante sobre a massa ao ser puxada é a força elástica, com isso é possível montar a seguinte equação:
\begin{eqnarray}
-k\cdot X &=& m\cdot a \label{1}
\end{eqnarray}
Sabendo que a aceleração é a derivada segunda do deslocamento e que o deslocamento em um movimento oscilatório e dado por $X_{t} = A\cdot cos(\omega t + \phi)$, onde $X_{t}$ é o deslocamento da massa em relação ao tempo, A a amplitude do movimento, $\omega$ é a frequência angular, e $\phi$ é constante de fase. Temos:
\begin{eqnarray}
-K\cdot X &=& m\cdot \frac{d^{2}x}{dt^{2}} \nonumber \\
-K\cdot A\cdot cos(\omega t + \phi) &=& m\cdot (-\omega^{2}\cdot A\cdot cos(\omega t+ \phi) \nonumber \\
K &=& m\cdot \omega^{2} \nonumber \\
\omega &=& \sqrt{\frac{K}{m}} \nonumber \\
\textrm{Como,} \nonumber \\
\omega &=& 2\pi\cdot f \nonumber \\
\omega &=& \frac{2\pi}{T} \label{2} \\
\textrm{Temos:} \nonumber \\
\frac{(2\pi)}{T} &=& \sqrt{\frac{K}{m}} \nonumber \\
T &=& 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}} \label{3}
\end{eqnarray}
\\ Onde, \\
T $\rightarrow$ Período\\
m $\rightarrow$ Massa\\
K $\rightarrow$ Constante Elástica\\
f $\rightarrow$ Frequência\\
$\omega$ $\rightarrow$ Frequência Angular\\
$\phi$ $\rightarrow$ Constante de Fase
\section{Objetivos}
Determinar a Constante Elástica de uma mola através de sua oscilação.
\vskip24pt
\section{Procedimento, material, instrumentos}
\textbf{Os materiais utilizados neste experimento foram:}
\begin{itemize}
\item Cronômetro;
\item Trena;
\item Estrutura de metal;
\item 2 pesos;
\item Mola
\end{itemize}
Utilizando uma balança, mediu-se a massa dos pesos = 0,10015kg.
A seguir, montamos a haste com Sistema Massa-Mola (Oscilando Verticalmente) semelhante à figura abaixo:\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{fig1}
\end{center}
\caption{Ilustração da montagem realizada em Laboratório}
\end{figure}
Para determinar a Amplitude, foi utilizado uma trena e mediu-se o comprimento da mola em equilíbrio com os pesos, em seguida puxou a mola para baixo causando um deslocamento. Esse deslocamento é a Amplitude da Oscilação. Neste experimento o deslocamento foi de:
\begin{eqnarray}
A &=& 6cm \nonumber
\end{eqnarray}
Para realizar a medição a mola foi puxada para baixo e solta em seguida. A mola exerceu força elástica para cima. Esta força pode ser calculada pela Lei de Hook $F = -K\cdot X$.
Mediu-se o tempo de 10 oscilações e determinou-se o período T do movimento.
\begin{eqnarray}
T_{10} &=& 6,72s \nonumber \\
T_{1} &=& 0,672s \nonumber
\end{eqnarray}
Repetiu-se o procedimento anterior para uma amplitude diferente, $A = 10cm$ apenas para confirmar que os valores seriam os mesmos.
\begin{eqnarray}
T_{10} &=& 6,72s \nonumber \\
T_{1} &=& 0,672s \nonumber
\end{eqnarray}
utilizando a equação (\ref{3}) podemos encontrar a constante elástica:
\begin{eqnarray}
T^{2} &=& \left(2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}\right)^{2} \nonumber \\
(0,672)^{2} &=& 4\pi^{2} \cdot \frac{0,10015}{K} \nonumber \\
0,4516 &=& \frac{3,94975}{K} \nonumber \\
K &=& 8,7461 \frac{N}{m} \nonumber
\end{eqnarray}
A velocidade é a derivada do deslocamento, como vemos:
\begin{eqnarray}
X_{t} = A\cdot cos(\omega t + \phi)\nonumber \\
V_{t} = -sen(\omega t + \phi) A\cdot \omega \nonumber
\end{eqnarray}
Para o caso da velocidade máxima, $sen(\omega t + \phi) = 1$, isto é, $\omega t+\phi = \frac{\pi}{2}$, então temos a seguinte equação:
\begin{eqnarray}
V_{max} &=& \omega \cdot A \nonumber \\
\end{eqnarray}
\\ Onde: \\
$V_{max}$ $\rightarrow$ Velocidade máxima;\\
$\omega$ $\rightarrow$ Frequência angular;\\
A $\rightarrow$ amplitude.
Usando a equação (\ref{2}), temos:
\begin{eqnarray}
V_{max} &=& \frac{2\pi}{T}\cdot A \nonumber \\
V_{max} &=& \frac{2\pi}{0,672}\cdot 0,06 \nonumber \\
V_{max} &=& 0,56 \frac{cm}{s} \nonumber
\end{eqnarray}
A equação da aceleração é obtida derivando a velocidade, para a aceleração máxima temos $cos(\omega t + \phi) = 1$.
\begin{eqnarray}
a_{max} &=& \omega^{2}\cdot A \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
a_{max} &=& \left(\frac{2\pi}{T} \right)^{2} \cdot A \nonumber \\
a_{max} &=& \left(\frac{2\pi}{0,672}\right)^{2} \cdot 6 \nonumber \\
a_{max} &=& 5,24x10^{2} \frac{m}{s^{2}}\nonumber
\end{eqnarray}
\vspace{2cm}
\pagebreak
\subsection{Esboço dos Gráficos}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{FxT}
\caption{Força x Tempo}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{XxT}
\caption{Distância x Tempo}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{VxT}
\caption{Velocidade x Tempo}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{AxT}
\caption{Aceleração x Tempo}
\end{center}
\end{figure}
\pagebreak
\section{Conclusão}
A partir deste experimento foi possível concluir que a constante elástica da mola ($K$) pode ser determinada em um sistema massa mola pelo movimento harmônico simples, em que a equação elástica é: $K = \frac{4\pi^{2}m}{T^{2}}$. Substituindo os valores, temos: $K = 8,7461$
\end{document}