Relatório do Trabalho Prático nº 9 de Física Experimental II
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\begin{titlepage}
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\textsc{\LARGE Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais}\\[0.5cm] % Name of your university/college
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{\Large \bfseries Prática 09 - Ondas Estacionárias}\\[0.4cm] % Title of your document
\HRule \\[1cm]
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% AUTHOR SECTION
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\vskip2cm
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{flushleft} \large
\emph{Alunos:}\\
Egmon Pereira; \\Igor Otoni Ripardo de Assis\\Leandro de Oliveira Pinto; \\Nicollas Andrade Silva
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{flushright} \medskip
\emph{Professor:} \\
\textbf{}{Anderson Augusto Freitas}
\end{flushright}
\end{minipage}\\[2cm]
\end{titlepage}
\pagebreak
\large
\section{Introdução}
Uma onda estacionária é uma onda que é propagada até um limite, onde ela é refletida e retorna no sentido oposto e invertida. Sendo assim possui a mesma amplitude, o mesmo período e o mesmo comprimento de onda. Entretanto é oposta à onda inicial. Na figura a seguir a onda tracejada representa a onda inicial refletida. Pode-se perceber que certos pontos da onda permanecem imóveis em relação à vertical. Estes pontos são chamados modos ou harmônicos.
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{figA}
\caption{Representação do 4º Harmônico de uma Onda Estacionária.}
\end{center}
\end{figure}
A equação de uma onda é y(x,t) = A$\cdot$sen(k.x ± $\omega$.t + $\phi$), considerando que a constante de fase($\phi$) seja 0, e a onda inicial está indo para a direita a equação pode ser reescrita assim: y(x,t) = A$\cdot$sen(k.x - $\omega$.t), e a equação da onda refletida por esta em direção oposta, para a esquerda, então fica assim: y(x,t) = A$\cdot$sen(k.x + $\omega$.t).
Estas duas ondas vão co-existir no mesmo meio e portanto vão se sobrepor. Segundo o Principio de sobreposição, que é o fenômeno que ocorre quando duas ou mais ondas se encontram gerando uma onda resultante, igual à soma algébrica das perturbações de cada onda. Tem-se:
\begin{eqnarray}
y = y1 + y2 = A sen(k.x - \omega.t ) + A sen(k.x + \omega.t)
\end{eqnarray}
Sabe-se que:
\begin{eqnarray}
sen(a\pm b) = sen(a) \cdot cos(b) \pm sen(b) \cdot cos(a)
\end{eqnarray}
Logo pode-se escrever as equações anteriores como:
\begin{eqnarray}
y_{2} = A \cdot sen(kx) \cdot cos(\omega t) \pm sen(\omega t) \cdot cos(kx)
\end{eqnarray}
E então tem-se que a equação de uma onda estacionária é:
\begin{eqnarray}
y_{1}+y_{2} = 2 \cdot A sen(kx)\cdot cos(\omega t)
\end{eqnarray}
Estas ondas podem ser ondas sonoras dentro de tubos, que é o que acontece em instrumentos de sopro como a flauta. Nestes casos pode-se ter um situação em que o tubo é aberto em uma extremidade, e quando é aberto em ambas as extremidades.
Veja uma figura a seguir do tubo fechado em uma extremidade:
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{figB}
\caption{Onda Estacionária dentro de um Tubo Fechado. 1º, 2º e 3º Harmônico.}
\end{center}
\end{figure}
Pode-se observar que uma onda estacionária dentro de um tubo fechado, forma hamônicos de maneira que na extremidade fechada do tubo sempre há um modo, e na extremidade aberta um vale. Na situação que temos o primeiro harmônico, o comprimento do tubo é $\frac{1}{4}$ do comprimento de onda ($\lambda$). E os seguintes comprimentos podem ser observados na imagem. Analisando estes comprimentos é possível determinar uma proporcionalidade, sendo que é possível determinar um valor n, que multiplicado por $\frac{1}{4}$ encontra-se o comprimento L do tubo, este n pode assumir valores de números ímpares positivos como 1,3,5,7 e etc.
As ondas também podem ser propagadas em tubos abertos em ambas as extremidades veja a ilustração seguir:
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{figC}
\caption{Onda Estacionária dentro de um Tubo Aberto. 1º, 2º e 3º Harmônico.}
\end{center}
\end{figure}
Pode-se observar que nas extremidades do tubo sempre há vales, enquanto os modos ficam dentro do tubo. Temos também que a proporcionalidade n entre os harmônicos e o comprimento do tubo é de números positivos como 1,2,3,4... multiplicados por $\frac{1}{2}$.
\section{Objetivos}
Determinar a coluna de ar em um tubo para obtermos o primeiro harmônico de um onda estacionária.
\vskip24pt
\section{Procedimento, material, instrumentos}
\textbf{Os materiais utilizados neste experimento foram:}
\begin{itemize}
\item Diapasão;
\item Martelo de Diapasão;
\item Becker 150ml;
\item Tubo de ensaio de 28,9 cm;
\item Trena.
\end{itemize}
Para este experimento primeiramente mediu-se o tamanho do tubo, que foi de 28,9 cm , em seguida sabendo que a velocidade do som no ar é de 340 m/s e que a v = $\lambda$ . f, sendo $\lambda$ o comprimento de onda e f a frequencia. A frequencia do diapasão era de 440 Hz, é possível descobrir o comprimento de onda de uma onda que se propaga dentro deste tubo, que neste caso é:
\begin{table}[h!]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\textbf{Harmônico} & \textbf{Comprimento do tubo (m)} \\ \hline
1º & 0,1932 \\ \hline
2º & 0,5795 \\ \hline
3º & 0,9659 \\ \hline
\end{tabular}
\caption{Tabela dos cálculos da coluna de ar para gerar o Harmônico desejado.}
\end{center}
\end{table}
Utilizando a equação $L = \frac{n \cdot \lambda}{4}$; pode-se identificar a posição do tubo onde os modos dos harmônicos irão se formar. Sendo assim, pode-se colocar água até que a coluna de ar dentro do tubo seja a melhor para formar algum harmônico.
Fazendo estes cálculos percebe-se que o único harmônico possível de ser formado em um tubo de 28,9 cm é o primeiro harmônico. Para identificar este harmônico no tubo foram precisos 5,58 cm de água para que a coluna de ar fosse de 19,32 cm. Com isso ao vibrar o diapasão e aproximando ele da boca do tubo, é possível ouvir um som, harmônico, e não apenas barulho.
Veja a seguir fotos da montagem realizada em laboratório:
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{imagem}
\caption{Onda sonora emitida pelo diapasão entra pelo Tubo}
\end{center}
\end{figure}
% \textbf{Tubo Fechado}
% \textbf{1º Harmônico}
% \begin{center}
% \begin{tikzpicture}
% \draw[black,smooth,samples=100,domain= 0:1.7] plot(\x,{-0.8*sin(\x r)});
% \draw[black,smooth,samples=100,domain= 0:1.7] plot(\x,{0.8*sin(\x r)});
% \end{tikzpicture}
% \end{center}
% \begin{eqnarray}
% L &=& \frac{\lambda}{4}\label{1}
% \end{eqnarray}
% \textbf{2º Harmônico}
% \begin{center}
% \begin{tikzpicture}
% \draw[black,smooth,samples=100,domain= 0:6.3] plot(\x,{-sin(\x r)});
% \draw[black,smooth,samples=100,domain= 0:6.3] plot(\x,{sin(\x r)});
% \end{tikzpicture}
% \end{center}
% \begin{eqnarray}
% L &=& \frac{3 \lambda}{4} \label{2}
% \end{eqnarray}
% \textbf{3º Harmônico}
% \begin{center}
% \begin{tikzpicture}
% \draw[black,smooth,samples=100,domain= 0:9.4] plot(\x,{-sin(\x r)});
% \draw[black,smooth,samples=100,domain= 0:9.4] plot(\x,{sin(\x r)});
% \end{tikzpicture}
% \end{center}
% \begin{eqnarray}
% L &=& \frac{5 \lambda}{4} \label{3}
% \end{eqnarray}
% \textbf{Equação Geral:}
% \begin{eqnarray}
% L &=& \frac{\lambda \cdot n}{4}; n = 1, 3, 5, 7, \cdots \label{4}
% \end{eqnarray}
% Dado:
% \begin{eqnarray}
% V &=& \lambda \cdot f \label{5}\\
% V &=& 340 m/s \nonumber \\
% \lambda &=& \frac{340}{440}\nonumber \\
% \lambda &=& 0,77\overline{27}\nonumber
% \end{eqnarray}
% \begin{table}[h!]
% \begin{center}
% \begin{tabular}{|c|c|}
% \hline
% \textbf{Harmônico} & \textbf{Ar (m)} \\ \hline
% 1º & 0,1932 \\ \hline
% 2º & 0,5795 \\ \hline
% 3º & 0,9659 \\ \hline
% \end{tabular}
% \end{center}
% \end{table}
% Para realizar este experimento colocou-se agua dentro do tubo de ensaio. Isso para que o comprimento (L) do tubo preenchido com ar seja o comprimento necessário para algum harmônico.
% Sabendo que o $v = \lambda \cdot f$ podemos encontrar o comprimento necessário para cada harmônico. Fazendo esse cálculos encontrou-se
% \begin{table}[h!]
% \begin{center}
% \begin{tabular}{|c|c|}
% \hline
% \textbf{Harmônico} & \textbf{Ar (m)} \\ \hline
% 1º & 0,1932 \\ \hline
% 2º & 0,5795 \\ \hline
% 3º & 0,9659 \\ \hline
% \end{tabular}
% \end{center}
% \end{table}
% Como o comprimento máximo do tubo era de 29 cm só foi possível encontrar o 1º harmônico.
% \vspace{2cm}
\pagebreak
\section{Conclusão}
Realizando este experimento pode-se perceber que uma onda sonora dentro de um tubo fechado pode formar ondas estacionárias de acordo com a coluna de ar dentro do tubo. No caso deste experimento foi possível encontrar apenas o primeiro harmônico, devido ao tamanho do tubo. Este harmônico estaria à uma coluna de 19,32 cm de ar.
\end{document}