\documentclass[a4paper]{article}
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\title{PIC}
\author{Victor Battalini de Deus da Chagas}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\section{Proposi\c{c}\~{a}o}
A fun\c{c}\~{a}o $ f(x)=\frac {x}{1+x}$ com $x\ge 0$ \'{e} mon\'{o}tona crescente.\\
DEMONSTRA\c{C}\~{A}O:\\
Seja $y>x\ge 0$ . Logo, $1+y>1+x$ ainda $y$ continua sendo $>$ que $x$, ou seja, aplicando a inversa em ambos os lados fazendo com que a desigualdade se altere, temos: \\
$${\frac{1}{1+y}}<{\frac{1}{1+x}}$$\\
e ent\~{a}o, \\
$${-\frac{1}{1+y}}>{-\frac{1}{1+x}}$$\\ $${1}-{\frac{1}{1+y}}>{1}-{\frac{1}{1+x}}$$ isto \'{e}, tirando o mmc em ambos os lados\\
$${\frac{y}{1+y}}>{\frac{x}{1+x}}$$.\
\subsection{Teorema 1}
Para quaisquer dois n\'{u}meros reais $x$ e $y$ , a seguinte desigualdade det\'{e}m:\\
$${\frac{|x+y|}{1+|x+y|}}\le {\frac{|x|}{1+|x|}} + {\frac{|y|}{1+|y|}}$$\\
DEMONSTR\~{A}O:\\
Seja $x$ e $y$ tendo o mesmo sinal. Sem perda de generalidade, podemos assumir que $x\ge 0$ , ent\~{a}o: \\
$${\frac{|x+y|}{1+|x+y|}}= {\frac{x+y}{1+x+y}}$$\\
$$={\frac{x}{1+x+y}} + {\frac{y}{1+x+y}}$$\\
$$\le{\frac{x}{1+x}} + {\frac{y}{1+y}}$$\\
$$\le {\frac{|x|}{1+|x|}}+{\frac{|y|}{1+|y|}}$$\\
Agora suponha $x$ e $y$ tendo sinais diferentes.
\end{document}
