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\title{Norma euclidiana}
\author{Rui}
\date{\today}
\begin{document}
Imaginemos um vetor: $$\vec{V} = (v_x,v_y,v_z).$$ Chamemos $\vec{V_{xy}}$ ao vetor $$\vec{V}_{xy} = (v_x,v_y,0).$$ Este é o vetor que tem as componentes $x$ e $y$ do primeiro vetor, mas cuja coordenada $z$ é nula. Agora vamos chamar $$\vec{V}_z = (0,0,v_z)$$ ao vetor que tem a componente z do primeiro vetor, mas as outras coordenadas nulas.
Visualizando isto, tridimensionalmente, é óbvio que $\vec{V}_{xy}$ e $\vec{V}_z$ são perpendiculares, e, para além disso, são catetos de um mesmo triângulo retângulo, cuja hipotenusa é o vetor $\vec{V}$ original. Logo, pelo teorema de pitágoras,$$ |\vec{V}|^2 = |\vec{V}_{xy}|^2 + |\vec{V}_z|^2 .$$ Mas, decompondo analogamente por sua vez o vetor $\vec{V}_xy$, em dois vetores $\vec{V}_x$ e $\vec{V}_y$, então, aplicando novamente o teorema de pitágoras, $|\vec{V}_{xy}|^2 = |\vec{V}_x|^2 + |\vec{V}_y|^2$. Logo, inserindo esta ultima equação na primeira, obtemos a equação:
$$ |\vec{V}|^2 = |\vec{V}_{xy}|^2 + |\vec{V}_z|^2 \Leftrightarrow |\vec{V}|^2 = |\vec{V}_x|^2 + |\vec{V}_y|^2 + |\vec{V}_z|^2 .$$ Agora, como os módulos são sempre positivos, não nos importamos com os sinais das raízes, ou seja, podemos aplicar a operação raiz quadrada aos dois lados da equação. Logo, temos a prova completa:
$$|\vec{V}| = \sqrt{|\vec{V}_{x}|^2 + |\vec{V}_y|^2 + |\vec{V}_z|^2} $$
\end{document}
