LABORATORIO 3

\documentclass[a4paper]{article}

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\title{LABORATORIO 3}

\author{Juan Sebastian Diaz, Javier Figueredo, Jeison Monroy}

\date{\today}

\begin{document}
\maketitle

\section{Introduccion}

Se sabe que para la aproximacion del polinomio de taylor de funciones de una variable se puede generalizar para una funcion de dos variables, donde la linealizacion de una funcion es 
$L(x,y) = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) f_y(a,b)(y-b)$,
con respecto a esto se verificara que $f(x,y)=Q(x,y)$ y se determinara polinomios de Taylor de primer y segundo grado. 

\section{Objetivos}

Descomponer una superficie difrenciable dada en sus correspondientes superficies polinomicas tangentes.
\begin{itemize}
\item Linealizar una superficie diferenciable dada de dos variables independientes, en un punto dado.
\item Aproximar cuadraticamente una superficie dada segun condiciones dadas.
\item Comprender que la aproximacion cuadratica reduce el error de aproximacion, respecto a la correspondiente linealizacion
\end{itemize}

\section{Problemas}
\subsection{ }
\begin{description}
\item $Q(x,y)=F(a,b)+F_x(a,b)(x-a)+F_Y(a,b)(y-b)+\frac{1}{2}F_xx(a,b)((x-a)^2)+F_xy(a,b)(x-a)(y-b)+\frac{1}{2}F_yy(a,b)((y-b)^2)$
\item por tanto
\item $Q_x(x,y)=F_x(a,b)+\frac{1}{2}F_xx(a,b)(2)(x-a)+F_xy(a,b)(y-b)$
\item $Q_x(x,y)=F_x(a,b)+F_xx(a,b)(x-a)+F_xy(a,b)(y-b)$
\item $Q_x(a,b)=F_x(a,b)+F_xx(a,b)(a-a)+F_xy(a,b)(b-b)$
\item $Q_x(a,b)=F_x(a,b)$
\item $Q_y(x,y)=F_y(a,b)+F_xy(a,b)(x-a)+F_yy(a,b)(y-b)$
\item $Q_y(a,b)=F_y(a,b)+F_xy(a,b)(a-a)+F_yy(a,b)(b-b)$
\item $Q_y(a,b)=F_y(a,b)$
\item En la derivada de segundo orden parcial
\item $Q_xx(x,y)=\frac{d}{dx}[F_x(a,b)+F_xx(a,b)(x-a)+F_xy(a,b)(y-b)]=F_xx(a.b)$
\item $Q_xx(a,b)=F_xx(a,b)$
\item $Q_xy(x,y)=\frac{d}{dy}[F_x(a,b)+F_xx(a,b)(x-a)+F_xy(a,b)(y-b)]=F_xy(a,b)$
\item $Q_xy(a,b)=F_xy(a,b)$
\item $Q_yy=\frac{d}{dy}[F_y(a,b)+F_xy(a,b)(x-a)+F_yy(a,b)(y-b)]=F_yy(a,b)$
\item $Q_yy(a,b)=F_yy(a,b)$
\end{description}

\subsection{ }
\begin{description}
\item $f(x,y)=e^{(-x^{2}-y^{2})}$
\item $f_x(x,y)=-2xe^{(-x^{2}+y^{2})}$
\item $f_xx(x,y)=4x^{2}-2e^{(-x^{2}-x^{2})}$
\item $f_y(x,y)=-2ye^{(-x^{2}+y^{2})}$
\item $f_yy(x,y)=4y^{2}-2(e)^{((-x)^2-(y)^2)}$
\item $f_xy(x,y)=(4yx)(e^{(-(x^2)-(y^2))})$
\item ahora hallamos L 
\item $L(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)(x-0)+f_y(0,0)(y-0)$
\item $f(0,0)=1, f_x(0,0)=0, f_y(0,0)=0$
\item $L(x,y)=1$
\item $Q(x,y)=L(x,y)+\frac{1}{2}L_xx(0,0)((x-0)^2)+L_xy(0,0)(x-0)(y-0)+L_yy(0,0)\frac{1}{2}((y-0)^2)$
\item $L_xx(0,0)=-2, L_xy(0,0)=0, L_yy(0,0)=-2$
\item $Q(x,y)=1+\frac{1}{2}(-2(x)^2)+\frac{1}{2}(-2(y)^2)$
\item $Q(x,y)=1-(x)^2-(y)^2$

\item ver figura 1

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=1.0\textwidth]{lol.jpg}
\caption{\label{fig:1}}
\end{figure}
\end{description}

\subsection{ }

\begin{description}
\item $f(x,y)=xe^{y}$
\item $f_x(x,y)=e^{y}$
\item $f_xx(x,y)=0$
\item $f_y(x,y)=xe^{y}$
\item $f_yy(x,y)=ye^{y}$
\item $f_xy(x,y)=e^{y}$
\item $L(x,y)=f(1,0)+f_x(1,0)(x-1)+f_y(1,0)(y-0)$
\item $f(1,0)=1, f_x(1,0)=1, f_y(1,0)=1$
\item $L(x,y)=x+y$
\item $Q(x,y)=L(x,y)-f_xy(1,0)(x-1)+\frac{1}{2}f_xx(1,0)(x-1)+\frac{1}{2}f_yy(1,0)(y-0)^{2}$
\item $Q(x,y)=x+xy+x$
\item entonces para el minimo local
\item $f(0.9,0.1)=0.9e^{0.1}$
\item $L(0.9,0.1)=0.9+0.1$
\item $Q(0.9,0.1)=\frac{1}{2}(0.1)^{2}+(0.9)(0.1)+0.9$
\item ver figura 2
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=1.0\textwidth]{sisas.jpg}
\caption{\label{fig:12}}
\end{figure}
\end{description}

\subsection{ }
\begin{description}
\item completando cuadrados obtenemos
\item $f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^2=a[x^{2}+\frac{b}{a}xy+\frac{c}{a}y^{2}]$
\item $f(x,y)=a[x^{2}+\frac{b}{a}xy+\frac{by}{2a}-(\frac{by}{2a}y)^{2}+\frac{c}{a}y^{2}]$
\item $f(x,y)=a[(x+\frac{by}{2a})^{2}-\frac{b^{2}y^{2}}{4a^{2}}-(\frac{cy^{2}}{a})]$
\item $f(x,y)=a[(x+\frac{by}{2a})^{2}-\frac{(b^{2}+4ac)y^{2}}{4a^{2}}]$
\item $f(x,y)=a[(x+\frac{by}{2a})^{2}-\frac{Dy^{2}}{4a^{2}}]$
\item si posee el minimo
\item sea $D={(-b^{2}+4ac)}$
\item si $D>0$
\item si $a>0$
\item como $(\frac{Dy^{2}}{4a^{2}})>0$ y $(x+\frac{by}{2a})^{2})>0$ y $a>0$
\item entonces
\item $f(x,y)>0=f(0,0)$ como es la imagen mas pequeña (0,0) es un minimo
\item pero tiene maximo local si $D>0$ y $a<0$
\item como $(\frac{Dy^{2}}{4a^{2}})>0$ y $(x+\frac{by}{2a})^{2})>0$ y $a<0$
\item entonces
\item $f(x,y)=a[(x+\frac{by}{2a})^{2}-\frac{Dy^{2}}{4a^{2}}]<0=f(0,0)$ como es la imagen mayor es un minimo respecto a los otros (x,y)
\item y si fuera punto de silla podria 
\item si $D<0$ 
\item $T=F_{xx}F_{yy}-(F_{xy})^{2}$
\item si $T<0$ es una silla
\item $F_x=a[2(x+\frac{by}{2a})]=2ax+by$
\item $F_{XX}=2a$
\item $[{bx}+\frac{b^{2}y}{2a}-(\frac{Dy}{2a^{2}})]$
\item $\frac{b^2}{2a}+\frac{D}{2a^{2}}$
\item $F_{xy}=b$
\item $T=[2a][\frac{b^2}{2a}+\frac{D}{2a^{2}}]-[b^2]$
\item $T=\frac{D}{a}$
\item como $ D<0$ $T<0$ es punto de silla en (0,0)
\end{description}

\subsection{ }
\begin{description}
\item $Q(x,y)=f(0,0) +f_x(0,0)(x-0)+f_y(0,0)(y-0)+\frac{1}{2}f_{xx}(0,0)(x-0)^{2}+f_{xy}(0,0)(x-0)(y-0)+\frac{1}{2}f_{yy}(0,0)y^{2}$
\item $=\frac{1}{2}f_{xx}(0,0)x^{2}+f_{xy}(0,0)xy+\frac{1}{2}f_{yy}(0,0)y^{2}$
\item segun esto se ajusta la funcion a 4 
\item $a=\frac{1}{2}f_{xx}(0,0)$
\item $b=f_{xy}(0,0)$
\item $c=\frac{1}{2}f_{yy}(0,0)$
\item por esto Q es un paraboloide que tiene maximo local, minimo local y punto de silla en (0,0), entonces
\item $D=4ac-b^{2}=f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)-(f_{xy}(0,0))^{2}$
\item si $D>0 y a=\frac{1}{2}f_{xx}(0,0)>0$
\item $f_{xx}(0,0)>0$ por lo tanto (0,0) es un minimo local si $D>0$ y $a=\frac{1}{2}f_{xx}(0,0)<0$
\item $f_{xx}(0,0)<0$ por lo tanto (0,0) es un maximo local si $D<0$
\item $(0,0)$ es un punto de silla
\item y por ultimo se refiere a f como
\item como f(x,y)=Q(x,y) en cercania de (0,0) en el literal b) $D=f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)-(f_{xy}(0,0))^{2}$
\item si $D>0$ y $f_xx(0,0)>0$
\item (0,0) es un minimo local de f si $D>0$ y $f_{xx}(0,0)<0$
\item (0,0) es un maximo local de f si $D<0$
\item (0,0) es un punto de silla f
\end{description}

\section{Conclusiones}
 Por tanto en este laboratorio logramos concluir que para una funcion de dos variables con dominio en todos los reales, donde [a,b] E D, es identificado como la aproximacion lineal de la funcion de dos variables en el punto (a.b) en la funcion lineal. La interpretacion de la grafica de la linealizacion de la funcion de dos variables en el punto (a,b), es el plano tangente tocando la fucion de dos variales en el punto dado (a,b), dado que es la proximidad en el punto dado el valor en la funcion es aproximado al polinomio de primer grado, permitiendo que la funcion de dos variables estara muy cerca a sus funciones polinomiales de n grados.
\end{document}