Introducción a la teoría del error
Author
Liliana Guzmán
Last Updated
6 years ago
License
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract
Guía de presentación de trabajos
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\title{Introducción a la teoría del error}
\author{Elsa Liliana Guzmán Rincón}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
%\renewcommand{\abstractname}{Un modelo matemático simple}
%\begin{abstract}
% Este tipo de preguntas consta de un enunciado y cuatro opciones de respuesta (A, B, C, D). Sólo una de estas opciones responde correctamente la pregunta. Se reproducen los items con fines exclusivamente académicos y de aprendizaje.
%\end{abstract}
\section{Un modelo matemático simple}
Un modelo matemático se define como una formulación o una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos. Por ejemplo, la Segunda Ley de Newton establece que la razón de cambio del movimiento de un cuerpo, es igual a la fuerza resultante que actúa sobre él.
\begin{equation}
F=ma \label{2newton}
\end{equation}
donde $a$ es la variable independiente, $F$ es la función de fuerza y $m$ es un paramétro de las propiedades del sistema. Despejando $a$ de \eqref{2newton} se obtiene $\displaystyle a=\dfrac{F}{m}$ donde $a$ representa la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir:
\begin{equation}
\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{F}{m} \label{variacion}
\end{equation}
La fuerza neta esta determinada por la atracción de la gravedad ($F_D$) y la atracción por la resistencia del aire ($F_U$), por lo tanto, $F=F_D+F_U$, reemplazando en \eqref{variacion} se obtiene:
\[
\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{F_D+F_U}{m}
\]
donde $F_D=mg$ y $F_U=-cv$, donde $c$ es el coeficiente de arrastre o resistencia, es decir:
\[
\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{mg-cv}{m}
\]
que genera la ecuación diferencial
\begin{equation}
\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{cv}{m} \label{EDO}
\end{equation}
con solución \begin{equation}
v(t)=\dfrac{gm}{c} \left(1-e^{\frac{-c}{m}t} \right) \label{Sol}
\end{equation}
\subsection{Problema del paracaidista}
Un paracaidista con una masa de $68.1 kg$ salta de un globo aerostático fijo. Aplique la ecuación \eqref{Sol} para calcular la velocidad antes de que abra el paracaídas. Considere que el coeficiente de resistencia es igual a $12.5 kg/s$.
Al reemplazar los datos en la ecuación y tabular obtenemos:
\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{|c| c|}
\hline
\textbf{$t (s)$} & \textbf{$v (m/s)$}\\
\hline
0 & 0.00\\
\hline
2 & 16.40\\
\hline
4 & 27.77\\
\hline
6 & 35.64\\
\hline
8 & 41.10\\
\hline
10 & 44.87\\
\hline
12 & 47.49\\
\hline
$\infty$ & 53.39\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\subsection{Solución numérica}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{op1}
\end{figure}
Utilizando el concepto de la pendiente, la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo se puede aproximar mediante
\begin{equation}
\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{\delta v}{\delta t}=\dfrac{v(t_{i+1})-v(t_i)}{t_{i+1}-t_i}
\end{equation}
que al reemplazarlo en \eqref{EDO}, tenemos
\[
\dfrac{v(t_{i+1})-v(t_i)}{t_{i+1}-t_i}=g-\dfrac{cv(t_i)}{m}
\]
y al despejar $v(t_{i+1})$ se obtiene
\begin{equation}
v(t_{i+1})=v(t_i)+\left[g-\dfrac{c}{m}v(t_i) \right](t_{i+1}-t_i) \label{euler}
\end{equation}
Esta aproximación se conoce como \textbf{método de Euler}, donde $v(t_{i+1})$ corresponde al \textbf{valor nuevo}, $g-\dfrac{c}{m}v(t_i)$ es la \textbf{pendiente}, el \textbf{tamaño de paso} está dado por $t_{i+1}-t_i$ y $v(t_i)$ corresponde al \textbf{valor anterior}.
Usando la \eqref{euler} y los datos para el problema del paracaidista obtenemos:
\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{|c| c|}
\hline
\textbf{$t (s)$} & \textbf{$v (m/s)$}\\
\hline
0 & 0.00\\
\hline
2 & 19.60\\
\hline
4 & 32.00\\
\hline
6 & 39.85\\
\hline
8 & 44.82\\
\hline
10 & 47.97\\
\hline
12 & 49.96\\
\hline
$\infty$ & 53.39\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\bibliographystyle{agsm}
\bibliography{Chapra}
\nocite{Chapra}
\end{document}