\documentclass[12pt]{article}
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\title{Calorimetría}
\author{Maximiliano Kniazev}
\date{18 de Agosto 2015}
\begin{document}
\maketitle
\section{Objetivos}
\subsection{Generales}
Comprensión del concepto de capacidad calorífica de un sistema.
\subsection{Específicos}
Determinación de la capacidad calorífica ($C_{Sistema}$), a presión constante, de diferentes sistemas.
\section{Consideraciones}
Partiendo del Primer Principio de la Termodinámica $\Delta U = Q + W$. \\ Suponiendo que el sistema posee paredes adiabáticas $Q=0$ y despreciando el trabajo mecánico inducido por la pastilla, $W = W_{Electrico} = W_e$.\\[0.3cm]
$\rightarrow \Delta U = W_e = I\cdot V \cdot \Delta t$ \\
De la misma manera $\Delta H = \Delta U + \Delta (P\cdot V) = \Delta U + P\cdot \Delta V$, donde $\Delta H = \Delta U$ por las condiciones de trabajo.\\
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{flushleft}
$\left \{
\begin{tabular}{l}
$\Delta U = \Delta H$ \\
$\Delta U = I \cdot V \cdot \Delta t$ \\
$\Delta H = C_{Sistema} \cdot \Delta T$
\end{tabular}
\right.$
\end{flushleft}
\end{minipage}
~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
$\Rightarrow \boxed{C_{Sis} = \frac{I \cdot V \cdot \Delta t}{\Delta T}}$
\end{minipage}
\newpage
\section{Datos Experimentales:}
\subsection{Descripción de los sistemas:}
\noindent
$Sistema_\alpha$: $H_2O$ $m_{H_2O}= 199,831 g$\\
$Sistema_\beta$: $H_2O$ $m_{H_2O}= 261,039 g$\\
$Sistema_\gamma$: Solución de Glicerol/$H_2O$ $m_{mezcla 1:1}= 260,191 g$\\
\subsection{Tablas de datos obtenidos:}
\begin{table}[h!]
\centering
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
\multicolumn{2}{c|}{$Sistema_{\alpha}$} & \multicolumn{2}{c|}{$Sistema_{\beta}$} & \multicolumn{2}{c}{$Sistema_{\gamma}$} \\\hline
$t (s)$ & $T (^oC)$ & $t (s)$ & $T (^oC)$ & $t (s)$ & $T (^oC)$ \\\hline
0 & 20,04 &0 &20,67 &0&21,88\\
30 & 19,98 &30 &20,10 &30&21,87\\
60 & 19,98 &60 &20,08 &60&21,87\\
90 & 19,98 &90 &20,08 &90&21,87\\
120 & 19,99 &120 &20,09 &120&21,87\\
150 & 20,09 &150 &20,09 &150&21,91\\
180 & 20,38 &180 &20,10 &180&22,16\\
210 & 20,75 &210 &20,11 &210&22,50\\
240 & 21,07 &240 &20,30 &240&22,85\\
270 & 21,42 &270 &20,64 &270&23,18\\
300 & 21,78 &300 &20,90 &300&23,56\\
330 & 22,10 &330 &21,19 &330&23,86\\
360 & 22,45 &360 &21,43 &360&24,20\\
390 & 22,81 &390 &21,72 &390&24,54\\
420 & 23,13 &420 &21,98 &420&24,85\\
450 & 23,40 &450 &22,28 &450&25,16\\
480 & 23,46 &480 &22,53 &480&25,23\\
510 & 23,46 &510 &22,74 &510&25,24\\
540 & 23,46 &540 &22,78 &540&25,23\\
570 & 23,45 &570 &22,78 &570&25,22\\
600 & 23,45 &600 &22,77 &600&25,22\\
630 & 23,44 &630 &22,77 &630&25,21\\
660 & 23,44 &660 &22,77 &660&25,20\\
690 & 23,43 &690 &22,77 &690&25,19\\
\end{tabular}
\end{table}
\subsection{Resultados experimentales:}
\subsubsection{Sistema $\alpha$}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[]{SisAlfa.png}
\caption{Gráfica del Sistema $\alpha$}
\end{figure}
Para el sistema $\alpha$ tenemos: \\
$\widehat{\Delta T}=22,10111\hat{1} ^oC$; como promedio de temperaturas con corriente encendida. De la regresión lineal obtenemos que eso corresponde a un $t=360,124019949s$.\\
$\Rightarrow T_{final}= 23,4899676259^oC$ y $T_{inicial}= 19,9336016178^oC$ \\
$\Rightarrow \Delta T = 3,5563660081^oC$\\
$\Rightarrow C_{\alpha} = \frac{I \cdot V \cdot \Delta t}{\Delta T} = \frac{1A\cdot 9V \cdot 300s}{3,5563660081^oC} = \boxed{759,201947676J/^oC = C_\alpha}$
\newpage
\subsubsection{Sistema $\beta$}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics{SisBeta}
\caption{Gráfica del sistema $\beta$}
\end{figure}
Para el sistema $\beta$ tenemos: \\
$\widehat{\Delta T}=21,571 ^oC$; como promedio de temperaturas con corriente encendida. De la regresión lineal obtenemos que eso corresponde a un $t=374,14533991s$.\\
$\Rightarrow T_{final}= 22,7524282773^oC$ y $T_{inicial}= 20,1199043364^oC$ \\
$\Rightarrow \Delta T = 2,6325237409^oC$\\
$\Rightarrow C_{\beta} = \frac{I \cdot V \cdot \Delta t}{\Delta T} = \frac{1A\cdot 9V \cdot 300s}{2,6325237409^oC} = \boxed{1025,63169818J/^oC = C_\beta}$
\newpage
\subsubsection{Sistema $\gamma$}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics{SisGamma}
\caption{Gráfica del sistema $\gamma$}
\end{figure}
Para el sistema $\gamma$ tenemos: \\
$\widehat{\Delta T}=23,524545 ^oC$; como promedio de temperaturas con corriente encendida. De la regresión lineal obtenemos que eso corresponde a un $t=330,545638096s$.\\
$\Rightarrow T_{final}= 25,2727453559^oC$ y $T_{inicial}= 21,910469138^oC$ \\
$\Rightarrow \Delta T = 3,3622762179^oC$\\
$\Rightarrow C_{\gamma} = \frac{I \cdot V \cdot \Delta t}{\Delta T} = \frac{1A\cdot 9V \cdot 300s}{2,6325237409^oC} = \boxed{803,027421015J/^oC = C_\gamma}$
\newpage
\subsection{Cálculo de errores:}
$ C_{Sis} = \frac{I \cdot V \cdot \Delta t}{\Delta T} $
\begin{equation*}
\begin{split}
U_{(C_{Sis})} &= \sqrt{\bigl( \frac{\partial C_{Sis}}{\partial V} \bigr) ^2 \cdot U^2_{(V)} +
\bigl( \frac{\partial C_{Sis}}{\partial I} \bigr) ^2 \cdot U^2_{(I)} + \bigl( \frac{\partial C_{Sis}}{\partial \Delta t} \bigr) ^2 \cdot U^2_{(\Delta t)} +
\bigl( \frac{\partial C_{Sis}}{\partial \Delta T} \bigr) ^2 \cdot U^2_{(\Delta T)}} \\
&= \sqrt{ \bigl( \frac{I \cdot \Delta t}{\Delta T} \bigr)^2 \cdot U^2_{(v)}
+ \bigl( \frac{v \cdot \Delta t}{\Delta T} \bigr)^2 \cdot U^2_{(I)}
+ \bigl( \frac{V \cdot I}{\Delta T} \bigr)^2 \cdot U^2_{(\Delta t)}
- \bigl( \frac{V \cdot I \cdot \Delta t}{\Delta T^2} \bigr)^2 \cdot U^2_{(\Delta T)}}
\end{split}
\end{equation*}
Teniendo en cuenta que:
$
\left \{
\begin{tabular}{l}
$U_{(V)} = 0,029 V$ \\
$U_{(I)} = 0,0065 A$ \\
$U_{(\Delta t)} = 25,0 s$ \\
$U_{(\Delta T)} = 0,02 c$ \\
$I=1 A = cte.$ \\
$V=9 V = cte.$
\end{tabular}
\right.
$
\\[1.0cm]
\indent
$U_i=\sqrt{(\frac{\Delta t}{\Delta T})^2 \cdot 0,000841 + (\frac{9\cdot \Delta t}{\Delta T})^2 \cdot 0,00004225 + (\frac{9}{\Delta T})^2 \cdot 625,0 - (\frac{9\cdot \Delta t}{\Delta T^2})^2 \cdot 0,0004 }$ \\[1.0cm]
\noindent
$\Rightarrow$ Sustituyendo para $\alpha, \beta, \gamma$:
\begin{table}[H]
$\boxed{
\begin{tabular}{c|c|c|c}
& $\alpha$ & $\beta$ & $\gamma$\\\hline
$U_i(J/^oC)$ & 63,4045663018 & 85,4206216632 & 67,0197748029
\end{tabular} }$
\end{table}
\section{Discusión y Conclusiones}
Los siguientes resultados:
$
\left (
\begin{tabular}{l}
$C_\alpha = (759,20\pm63,40) J/^oC$\\
$C_\beta = (1025,63\pm85,42) J/^oC$\\
$C_\gamma = (803,03\pm67,02) J/^oC$
\end{tabular}
\right )
$ son las capacidades caloríficas de los sistemas, y no tienen forma de ser comprobadas, porque no hay manera de saber qué es lo que está transfiriendo calor no trivial dentro de cada uno. Es bueno notar que $C_\alpha \neq C_\beta$ aún estando bajo prácticamente las mismas condiciones. Con lo que comprobamos que \textbf{las capacidades caloríficas dependen de la masa}. \\ \indent Sin embargo, los calores específicos de los sistemas\footnote{Defino $C*_i=\frac{C_i}{m_i}$} $\alpha$ y $\beta$,
$
\left (
\begin{tabular}{l}
$C*_\alpha = (3,80\pm0,32) J/^oCg$\\
$C*_\beta = (3,93\pm0,33) J/^oCg$\\
\end{tabular}
\right )
$
respectivamente, mantienen valores bastante cercanos, y es posible decir que son iguales dentro de los errores que se puedan haber cometido durante la práctica.
\newpage
\end{document}
