Домашнее задание на третью неделю

{}\documentclass{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{tikz}
\usepackage{amscd}
\usepackage[inline]{enumitem}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{dsfont}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{epigraph}
\usepackage{icomma}
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\renewcommand\normalsize{\sloppypar}
\newcommand{\BP}{\mathbb{P}}
\setlength{\topmargin}{-0.5in} 
\setlength{\textheight}{9.1in}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.3in}
\setlength{\textwidth}{7in}
\setlength{\parindent}{0ex}
\setlength{\parskip}{1ex}
\title{Домашнее задание на третью неделю}
\author{Бельденова Камила, 675}
\date{28 февраля 2018}
\begin{document}
\maketitle
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1&2&4&5&6&7&8&9&$\Sigma$\\
\hline
&&&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\\\\
\begin{enumerate} 

\item[\textbf{Задача 1.}] Докажите следующие свойства полиномиальной сводимости:

($i$) Рефлексивность: $A\leq_p A$; транзитивность: если $A\leq_p B$ и $B\leq_p C$, то $A\leq_p C$;

($ii$) Если $B\in\mathcal{P}$ и $A\leq_p B$, то $A\in\mathcal{P}$;

($iii$) Если $B\in\mathcal{NP}$ и $A\leq_p B$, то $A\in\mathcal{NP}$.

\smallskip
\begin{center}
Решение
\end{center}
($i$) Рефлексивность довольно очевидна. Для этого нам достаточно рассмотреть функцию $f(x)=x$ (вычислимая за полиномиальное время функция). Видно, что $x \in  A \Leftrightarrow f (x)=x \in A$, а значит согласно определению $A\leq_p A$.\\

Теперь докажем транзитивность. Если $f$ сводит $A$ к $B$, а $g$ сводит $B$ к $C$, то $f \circ g$ сводит $A$ к $C$ : $x \in A \Leftrightarrow f(x) \in B \Leftrightarrow g(f(x)) \in  C $. При этом если и $f$, и $g$ вычисляются за полиномиальное время, то $f \circ g$ также вычисляется за полиномиальное время.\\

($ii$) Характеристическая функция $\chi_A$ представляется как композиция $\chi_B \circ f$. Если $B \in P$, то $\chi_B$ вычисляется за полиномиальное время, а если $A\leq_p B$, то соответсвующая $f$ также вычисляется за полиномиальное время. Это значит, что их композиция (т.~е. $\chi_A$) тоже вычисляется за полиномиальное время~$\Leftrightarrow A \in \textbf{P}$.\\

($iii$) Если $\chi_B$ вычисляется недетерминированной машиной за полиномиальное время, а $f$ (детерминированно) вычисляется за полиномиальное время, то $\chi_A=\chi_B \circ f$ тоже вычисляется недетерминированной машиной за полиномиальное время.\\
\end{enumerate}


\begin{enumerate} 

\item[\textbf{Задача 2.}] Докажите, что следующие языки принадлежат классу $\mathcal{P}$. Считайте, что графы заданы матрицами смежности.

($i$) Язык двудольных графов, содержащих не менее $2018$ треугольников (троек попарно смежных вершин);

($ii$) Язык несвязных графов без циклов;

($iii$) Язык квадратных $\{0; 1\}$-матриц порядка $n\geq 3000$, в которых есть квадратная подматрица порядка $n-2018$, заполненная одними единицами.

($iv$) Язык $L(a, m)$, зависящий от параметров $a, m \in \mathbb{N}$, определяемый следующим образом: $$L = \{x_0, x_1, \ldots\}; x_0 = a ( mod~m ); x_{i+1} = x_i^{2018} ( mod~m ).$$

\smallskip
\begin{center}
Решение
\end{center}
($i$) Вспомним определение двудольного графа. Двудольный граф~---~граф, вершины которого можно разбить на два множества так, что каждое ребро соединяет вершины из разных множеств. Согласно определению в двудольных графах не может быть трех попарно смежных вершин, а значит множество графов, имеющих не менее $2018$ треугольников, пусто $\Rightarrow$ язык принадлежит классу $\mathcal{P}$.\\

($ii$) Проверим граф на связность с помощью поиска в глубину, сложность работы составляет $O(M)$, то есть линейна по количеству ребер. Произведём серию поисков в глубину в графе, т.~е. из каждой вершины, в которую мы ещё ни разу не приходили, запустим поиск в глубину, который при входе в вершину будет красить её в серый цвет, а при выходе~---~в чёрный. Если после прохода алгоритма не все вершины окрашены в какой-то из цветов, то граф несвязный, значит можно продолжать его исследовать, иначе~---~он не принадлежит языку. Для каждого связного куска проверим граф на ацикличность, это также проверяется с помощью поиска в глубину. Если в течение поиска в глубину мы пытаемся пойти в серую вершину, то это означает, что мы нашли цикл (если граф неориентированный, то случаи, когда в течение поиска в глубину из какой-то вершины мы пытаемся пойти в предка, не считаются), и граф не принадлежит нашему языку.
Язык принадлежит классу $\mathcal{P}$.\\

($iii$) Будем проверять матрицу "лобовым" алгоритмом:\\
\begin{tabbing}
ЦИКЛ $i,j = 1..2018$\\	
~~~~start:\\
~~~~count$ = 0$;\\
~~~~ЦИКЛ $k,l = 1..(n - 2018)$\\
~~~~ЕСЛИ $(A[k+i,l+j] == 1)$ \\
~~~~count $+=1$ \\
~~~~ИНАЧЕ GOTO(start)\\
ЕСЛИ count == (n-2018)*(n-2018)\\
~~~~ОТВЕТ(Принадлежит языку)\\
ИНАЧЕ\\
~~ОТВЕТ(Не принадлежит языку)\\
\end{tabbing}
Как видим, алгоритм содержит $2$ цикла, работающих в худшем случае по $(n-2018)$ раз, внутри которых происходят операции $O(1)$, значит, итоговая сложность алгоритма~---~$O(n^2)$.
 \\



\end{enumerate}

\begin{enumerate} 

\item[\textbf{Задача 4.}] Докажите, что классы $\mathcal{P}$ и $\mathcal{NP}$ замкнуты относительно операции $*$~---~звезды Клини (была в ТРЯПе). Для языка $NP$ приведите также и сертификат принадлежности слова из $\Sigma^*$ языку $L^*$, где $L\in\mathcal{NP}$. 

\smallskip
\begin{center}
Решение
\end{center}
\textbf{(1)} Сначала докажем замкнутость класса $\mathcal{P}$ относительно заданной операции: \\

Пусть $p$~---~разрешитель языка $L$, работающий за полиномиальное время. Построим разрешитель $q$ для языка $L^{*}:$
\begin{tabbing}
$n = |w|$;\\
endPoses = $\{0\}$~---~места, где могут заканчиваться слова из $L$\\
for(i=1..n)\\
~~~~for $(j \in$ endPoses)\\
~~~~~~~~if(p(w[j+1..i])) \{\\
~~~~~~~~~~~~if $(i=n)$\\
~~~~~~~~~~~~~~~~return true;\\
~~~~~~~~~~~~endPoses $\cup = \{i\}$\\
~~~~~~~~\}\\
return false;\\
\end{tabbing}
Худшая оценка времени работы разрешителя $q$ равна $n^2O(p(w))$. Т.~к. в множестве endPoses может быть максимум $n$ элементов, значит, итерироваться по множеству можно за $O(n)$, если реализовать его на основе битового массива, например. При этом операция добавления элемента в множество будет работать за $O(1)$. Итого, разрешитель $q$ работает за полиномиальное время (т.~к. произведение полиномов есть полином). Значит, $L^{*} \in P$.



\textbf{(2)} Теперь докажем замкнутость класса $\mathcal{NP}$ относительно заданной операции: \\

Предъявим предикат $M(x,y)$, который проверяет правильность сертификата $y$ для языка $L^{*}$.\\
Сертификатом $y^{*}$ для слов из $L^{*}$ будут:\\
$(i)$ позиции, на которых находятся начала слов, принадлежащих $L$;\\
$(ii)$ сертификаты $y$ для каждого из этих слов.\\
 
Далее нужно проверить, что каждая часть входного слова принадлежит языку $L$, это делается предикатом $R(x_{i},y_{i})$, что является $\mathcal{NP}$ задачей (по условию); проход по всем подсловам~---~линейная операция от длинны входа $\Rightarrow$ полученный предикат~---~$\mathcal{NP}$.
\end{enumerate}

\begin{enumerate} 

\item[\textbf{Задача 5.}] Покажите, что классу $NP$ принадлежит язык несовместных систем линейных уравнений с целыми коэффициентами от $2018$ неизвестных, и постройте соответствующий сертификат $y$ и проверочный предикат $R(x, y)$. Один из возможных способов заключается в применении теоремы Фредгольма.

\smallskip
\begin{center}
Решение
\end{center}

Вспомним, что критерием совместности СЛАУ является равенство рангов расширенной и исходной матриц.\\
Сертификатом будет число линейно независимых (далее ЛНЗ) строк в обоих матрицах, их номера и разложения по ним остальных строк.\\
Предикатом $R(x,y)$ будет проверка на то, что данные в сертификате строки действительно являются ЛНЗ, приведение матрицы к верхнетреугольному виду и проверка на наличие "$0$"  на главной диагонали. Если сертификат верен, то нужно сравнить количество ЛНЗ строк в исходной и расширенной матрицах. Если оно не одинаково, то система несовместна.
\end{enumerate}

\begin{enumerate} 

\item[\textbf{Задача 6.}]  Покажите, что язык разложения на множители $$L_{factor} = \{(N,M)\in\mathbb{Z}^2 \mbox{ }|\mbox{ } 1<M<N\mbox{ и } N \mbox{ имеет делитель } d, 1<d\leq M\}$$ лежит в пересечении $\mathcal{NP}\cap co-\mathcal{NP}$.
\smallskip
\begin{center}
Решение
\end{center}
Покажем, что данный язык $\mathcal{L} \in \mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{L} \in \mathcal{NP}\cap co-\mathcal{NP}$.\\
Алгоритм проверки принадлежности слова к $L_{factor}$ такой:\\
\begin{tabbing}
for$(i = 2; i < M; i++) \{$\\
~~~~$if (N \mod i == 0) \{$\\
~~~~~~~~printf("Слово принадлежит $L_{factor}$");\\
~~~~~~~~return OK;\\
~~~~\} \\ 
\} \\
printf("Слово не принадлежит $L_{factor}$");\\ return BAD;\\
\end{tabbing}
\end{enumerate}

\begin{enumerate} 

\item[\textbf{Задача 7.}] Язык ГП состоит из описаний графов, имеющих гамильтонов путь. Язык ГЦ состоит из описаний графов, имеющих  гамильтонов цикл (проходящий через все вершины, причем все вершины в этом цикле, кроме первой и последней, попарно различны). Постройте явные полиномиальные сводимости ГЦ к ГП и ГП к ГЦ.

\smallskip
\begin{center}
Решение
\end{center}
Вспомним определение полиномиальной сводимости: $L_1 \leq_p L_2$, если существует всюду определенная функция  $f: \{0,1\}^{*} \rightarrow \{0,1\}^{*} $, вычислимая за полиномиальное время, такая что $x \in L_1 \Leftrightarrow f (x) \in L_2$\\

Рассмотрим сводимость ГЦ в ГП:\\
Пусть нам задан граф $x$, в котором есть гамильтонов цикл, тогда найдем этот цикл и построим граф $f(x)$ отбрасыванием одного ребра, учавствующего в построении цикла; таким образом получим граф, в котором будет самонеперсекающийся путь, проходящий через все вершины. Алгоритм нахождения гамильтонова цикла принадлежит $\mathcal{NP}$ (сертификатом будет последовательность вершин, образующая гамильтонов цикл, проверка линейна).\\

В обратную сторону~---~сводимость ГП к ГЦ:\\
Аналогично, по заданному графу найдем в нем гамильтонов путь ($\mathcal{NP}$ задача), далее построим $f(x)$ добавлением к исходному графу одного ребра, соединяющего начальную вершину пути с конечной.\\
Т.~к. сводимость ГП к ГЦ~---~обратное сведение от ГЦ к ГП, то приведенное преобразование удовлетворяет определению сводимости.
\end{enumerate}


\begin{enumerate} 

\item[\textbf{Задача 8.}]  Рассмотрим $n$ точек плоскости, заданных своими парами декартовых координат $(x, y)$. Требуется найти их выпуклую оболочку, т.~е. наименьшее по включению выпуклое множество, содержащее все эти $n$ точек. Выпуклой оболочкой будет некоторый многоугольник, причем все его вершины~---~некоторые из этих точек, а остальные лежат внутри. Вывести на экран нужно вершины этого многоугольника по порядку обхода периметра (начиная с любой из них).

Рассмотрим модель вычисления, в которой за $1$ такт можно делать одну из трёх операций: сравнивать два числа, складывать числа и возводить число в квадрат. Покажите, что в этой модели вычислений задача сортировки массива сводится к задаче построения выпуклой оболочки $n$ точек плоскости за линейное время.

\smallskip
\begin{center}
Решение
\end{center}
Мы рассмотрим метод Грэхема с улучшениями Эндрю. С его помощью можно построить выпуклую оболочку за время $O(n \log n)$ с использованием только операций сравнения, сложения и умножения. Алгоритм является асимптотически оптимальным (доказано, что не существует алгоритма с лучшей асимптотикой).\\

Сам алгоритм:\\
Найдём $A$ и $B$~---~самую левую и самую правую точки (если таких точек несколько, то возьмём самую нижнюю среди левых, и самую верхнюю среди правых). Понятно, что и $A$, и $B$ обязательно попадут в выпуклую оболочку. Дальше, проведём через эти точки прямую $AB$,тем самым разделив множество всех точек на верхнее и нижнее подмножества $S_1$ и $S_2$ (точки, лежащие на прямой, можно отнести к любому из подмножеств~---~они всё равно не войдут в оболочку). Точки $A$ и $B$ отнесём к обоим множествам. Теперь построим для $S_1$ верхнюю оболочку, а для $S_2$~---~нижнюю, и объединив их, получим ответ. Чтобы получить, например, верхнюю оболочку, нужно отсортировать все точки по абсциссе, потом пройтись по всем точкам, рассматривая на каждом шаге кроме самой точки две предыдущие, вошедшие в оболочку. Если текущая тройка точек образует не правый поворот (это легко проверить с помощью понятия "ориентированной площади"), то ближайшего соседа нужно удалить из оболочки. В итоге, останутся только точки, входящие в выпуклую оболочку.\\  
Итак, алгоритм состоит в \textbf{сортировке всех точек} по абсциссе и двух (в худшем случае) обходах всех точек, т.~е. требуемая асимптотика $O (n \log n)$ достигнута.\\

Но (по крайней мере, я так поняла), так как все операции, на которые опирается наш алгоритм (например, поиск самой левой и самой правой точек в начале представленного алгоритма), по условию занимают один такт для каждого элемента, то всего получаем $O(n)$ в нашей модели вычисления. Получили,что в этой модели вычислений задача сортировки массива свелась к задаче построения выпуклой оболочки $n$ точек плоскости за линейное время.
\end{enumerate}


\begin{enumerate} 

\item[\textbf{Задача 9.}]  Пусть $A\in\mathcal{NP}-complete$. Пусть машина имеет дополнительную функцию (оракул) за $1$ такт получать ответ, лежит ли слово $x$ в языке $A$. Тогда существует полиномиальный алгоритм, решающий задачу поиска для $A$. Докажите это утверждение.

\smallskip
\begin{center}
Решение
\end{center}
Есть такая лемма:\\
Пусть языки $A$ и $B$ лежат в $\mathcal{NP}$ и задаются верификаторами $W_{A}$ и $W_{B}$ соответсвенно. Пусть также $A$ сводится  по Карпу к $B$. Тогда существуют верификаторы $V_{A}$ и $V_{B}$, для которых также имеет место сводимость по Левину.\\

Теперь приступим к доказательству утверждения.\\

В силу указанной леммы можно считать, что и $A$ сводится к $3SAT$, и $3SAT$ сводится к $A$ в смысле Левина. В большинстве случаев (в том числе в теореме Кука–Левина) это получается и без дополнительных конструкций. Поэтому достаточно свести $A$ к $3SAT$, решить задачу поиска для $3SAT$ и свести результат обратно.\\
Пусть дана формула $\varphi$, зависящая от переменных $p_1, \ldots p_n$. Вначале можно проверить выполнимость $\varphi$ (при помощи оракула), и если формула невыполнима, такой ответ и вернуть. Если же формула выполнима, рассмотрим формулы $\varphi_1'$ и $\varphi_1''$, полученные из $\varphi$ фиксацией значений  $p_1= 0$ и $p_1 = 1$ соответственно. Хотя бы одна из них будет выполнима, какая именно, можно найти при помощи двух запросов к оракулу (или даже одного). Обозначим выполнимую формулу через $\varphi_1$ и применим к ней ту же процедуру рекурсивно. Так будут определяться значения всех переменных, пока не останется только одна. Это будет база рекурсии: значение последней переменной можно найти непосредственной подстановкой обоих вариантов.





\end{enumerate}

\end{document}