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\title{DEMOSTRACION DEL TEOREMA DEL LIMITE DE COMPOSICION DE FUNCIONES}
\author{YAMID FERNANDO RIVERA APONTE}
\begin{document}
\date{23 de abril de 2014}
\maketitle
PROFESOR: OMAR DANIEL PALACIOS.
CURSO: CALCULO DIFERENCIAL
\section{Teorema del limite de composicion de funciones.}
Si $\lim_{x\to c} g(x)=L
$
y si $f$ es continua en L, entonces
$$\lim_{ x\to c} f(g(x))=f(\lim_{ x\to c} g(x))=f(L)
$$
En particular, si g es continua en c y $f$ es continua en g(c), entonces la composicion $f$ $\circ$ g es continua en c.
\section{Demostracion}
Sea $\epsilon$ $>$ 0 dado.Como $f$ es continuan en L existe un d1 $>$0 correspondiente, tal que
$$\mid t - L \mid < \delta_{1} \Longrightarrow \mid f(t)-f(L)\mid < \epsilon
$$
y asi
$$ g(x)-L < \delta_{1} \Longrightarrow \mid f(g(x))- f(L) \mid <\epsilon
$$
Pero ya que $\lim_{x\to c} g(x)=L$,para un $\delta_{1}>0$ dado existe un correspondiente $\delta_{2}>0$ tal que
$$0< \mid x-c\mid < \delta_{2} \Longrightarrow \mid g(x)-L \mid < \delta_{1}
$$
cuando reunimos estos dos hechos, tenemos
$$0 < \mid x - c \mid < \delta_{2} \Longrightarrow \mid f(g(x))- f(L) < \epsilon
$$
Esto demuestra que
$$\lim_{x\to c} f(g(x))= f(L)
$$
La segunda proposicion del teorema se deduce de la obsevacion de que si g es continua en c entonces L=g(c)
\end{document}
