Exercícios
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\lhead{Universidade Federal do Paraná}
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\rhead{Departamento de Engenharia Mecânica}
\lfoot{Mecânica dos Fluidos II}
\cfoot{Análise Dimensional e semelhança}
\rfoot{Prof. Strobel, Ph.D.}
\title{\Large \textbf{Universidade Federal do Paraná}\\ Departamento de Engenharia Mecânica \\ TM352 - Mecânica dos Fluidos II \\ \vspace{5mm} \LARGE \textbf{Exercícios de Análise Dimensional e Semelhança} \\ \vspace{1cm} \normalsize por \\ \vspace{1cm} \Large \textit{Prof. Christian Strobel, Ph.D.}}
\begin{document}
\maketitle
\begin{table}[!ht]
\begin{tabular}{c c c}
\textit{"Não vamos entrar em pânico! Vou vender} \\ \textit{um de meus fígados, posso viver com} \\ \textit{um só..."} \textbf{- Homer J. Simpson} & &
\end{tabular}
\end{table}
\section*{Exercícios}
\begin{enumerate}
\item Considere uma esfera lisa, de diâmetro D, imersa um fluido movendo-se com velocidade $V$. A força de arrasto sobre um balão meteorológico com $3 m$ de diâmetro, movendo-se no ar a $1,5 m/s$, deve ser calculada partindo de dados de teste. O teste deve ser realizado na água usando um modelo com $50 mm$ de diâmetro. Sob condições de semelhança dinâmica, a força de arrasto sobre o modelo é medida como $3,78 N$. Avalie a velocidade de teste do modelo e a força de arrasto esperada sobre o balão em escala natural. [ \scriptsize{$V = 6,05 m/s$ e $F_{D} = 1,01 N$ \normalsize ]} \normalsize
\item O diâmetro, $d$, dos pontos impressos por uma impressora a jato de tinta depende da viscosidade $\mu$, massa específica, $\rho$, e tensão superficial, $\sigma$, da tinta, da distância, $L$, do bocal à superfície do papel, do diâmetro do bocal, $D$, bem como da velocidade do jato, $V$. Use a análise dimensional para encontrar os parâmetros $\Pi$ que caracterizam o comportamento do jato de tinta.[ \scriptsize{$\Pi_1 = \frac{d}{D}$ ; $\Pi_2 = \frac{1}{Re}$ ; $\Pi_3 = \frac{L}{D}$ e $\Pi_4 = \frac{\sigma}{\rho V^2 D}$ \normalsize ]} \normalsize
\item Em velocidades muito baixas, a força de arrasto sobre um objeto é independente da massa específica do fluido. Deste modo, a força, $F$, sobre uma pequena esfera, é uma função somente da velocidade, $V$, da viscosidade do fluido, $\mu$, e do diâmetro da esfera, $D$. Use a análise dimensional para determinar como a força de arrasto $F$ depende da velocidade $V$. [\scriptsize{$\Pi = \frac{F}{\mu V D}$ \normalsize ]} \normalsize
\item Em velocidades muito altas, o arrasto sobre um objeto é independente da viscosidade do fluído. Deste modo, a força de arrasto aerodinâmico, $F$, sobre um automóvel é uma função somente da velocidade, $V$, da massa específica do ar, $\rho$, e do tamanho do veículo, caracterizado por sua área frontal, $A$. Use a análise dimensional para determinar como a força de arrasto $F$ depende da velocidade $V$. [ \scriptsize{$\Pi = \frac{F A}{v^2 \rho}$ \normalsize ]} \normalsize
\item Um navio deve ser movido por um cilindro circular rotativo. Testes de modelo são planejados para estimar a potência requerida para testar o cilindro-protótipo. Uma análise dimensional é necessária para transportar por escala os resultados dos testes do modelo para o protótipo. Liste os parâmetros que deveriam ser incluídos na análise dimensional. Faça uma análise dimensional para identificar os grupo adimensionais importantes.[ \scriptsize{$\Pi_1 = \frac{P}{\rho \omega^3 D^5}$ ; $\Pi_2 = \frac{V}{\omega D}$ ; $\Pi_3 = \frac{H}{D}$ e $\Pi_4 = \frac{\mu}{\rho \omega D^2}$ \normalsize ]} \normalsize
\item Quando uma válvula é subitamente fechada num tubo em que escoa água, uma onda de pressão se desenvolve (martelo hidráulico ou golpe de aríete). As elevadas pressões geradas por essas ondas podem danificar o tubo. A pressão máxima, $P_{max}$, gerada pelo martelo hidráulico é uma função da massa específica do liquido , $\rho$, da velocidade inicial do escoamento, $u_0$, e do módulo de compressibilidade do líquido, $E_v$. Quantos grupos adimensionais são necessários para caracterizar o martelo hidráulico? Determine a relação funcional entre as variáveis em termos dos grupos $\Pi$ necessários.
[ \scriptsize{$\Pi_1 = \frac{P}{\rho u_0}$ ; $\Pi_2 = \frac{E_V}{\rho u_0}$ \normalsize ]} \normalsize
\item Um automóvel deve trafegar a $100 \frac{km}{h}$ em ar padrão. Para determinar a distribuição de pressão, um modelo em escala $\frac{1}{5}$ deve ser testado em água. Que fatores devem ser considerados de modo a assegurar semelhança cimnemática nos testes? Determine a velocidade da água que deve ser empregada. Qual a razão correspondente de forças de arrasto entre os escoamentos sobre o protótipo e sobre o modelo? [ \scriptsize{$V = 9,51 \frac{m}{s}$ e $\frac{F_{d,p}}{F_{D,m}}=0,62$ \normalsize ]} \normalsize
\item Uma aeronave deve operar a $20 \frac{m}{s}$ no ar na condição padrão. Um modelo é construído em escala $\frac{1}{20}$ e testado em um túnel de vento, com ar na temperatura padrão, para determinar o arrasto. Que critério deve ser considerado para se obter semelhança dinâmica? Se o modelo testado a $75 \frac{m}{s}$, que pressão deve ser usada no túnel de vento? Se a força de arrasto sobre o modelo for $250 N$, qual será a força sobre o protótipo? [ \scriptsize{$P = 5,38.10^5 Pa$ e $F_D = 1334,17 N$ \normalsize ]} \normalsize
\item Um modelo de torpedo em escala $\frac{1}{5}$ é testado em um túnel de vento para determinar a força de arrasto. O protótipo opera em água, tem $533 mm$ de diâmetro e $6,7 m$ de comprimento. A velocidade de operação desejada é de $28 m/s$. Para evitar efeitos de compressibilidade no túnel de vento a velocidade máxima é limitada em $110 \frac{m}{s}$. Entretanto a pressão no túnel de vento pode variar enquanto a temperatura é mantida em $20^{\circ}C$ (Buscar propriedades para esta temperatura). Em que pressão mínima deverá operar para se obter um teste dinamicamente semelhante? Em condição de teste semelhante, a força de arrasto medida sobre o modelo foi de $618 N$. Avalie a força de arrasto sobre o torpedo em escala natural. [ \scriptsize{$P = 1,93 MPa$ e $F_D = 43,4 kN$ \normalsize ]} \normalsize
\end{enumerate}
\end{document}